Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión numérica en la que la diferencia entre cada término an y el anterior an-1 se mantiene constante. $$ a_n = a_{n-1}+d $$ Aquí, n es un número natural.
Esta cantidad fija recibe el nombre de diferencia común.
$$ d=a_n-a_{n-1} $$
El valor de d determina cómo evoluciona la sucesión:
- d>0
la sucesión es creciente - d<0
la sucesión es decreciente - d=0
la sucesión es constante
Una progresión aritmética puede tener un número finito o infinito de términos. Cuando el número de términos es finito, se identifican el primer término y el último término.
¿Por qué se llama progresión aritmética? El nombre se explica por una propiedad clave: cada término an coincide con la media aritmética de sus términos vecinos. $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $$
¿Cómo se calcula un término?
Cada término puede obtenerse a partir de los que lo rodean:
- A partir del término anterior
Se suma la diferencia común al término precedente. \[ a_n = a_{n-1} + d \] - A partir del término siguiente
Se resta la diferencia común al término siguiente. \[ a_n = a_{n+1} - d \]
En la práctica, conocer el primer término y la diferencia común basta para determinar toda la sucesión.
Ejemplo
Consideremos la sucesión
$$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$
Se trata de una progresión aritmética con infinitos términos.
La diferencia común es
$$ d = 2 $$
Nota. Cada término se obtiene sumando 2 al anterior $$ 5 = 3 +2 \\ 7 = 5+2 \\ 9 = 7+2 \\ 11 = 9 +2 \\ 13 = 11+2 \\ $$
Dado que d>0, la sucesión es creciente.
Ejemplo 2
Consideremos la sucesión
$$ 21 \ , \ 18 \ , \ 15 \ , \ 12 \ , \ 9 \ , \ 6 $$
Se trata de una progresión aritmética finita.
El primer término es 21 y el último es 6.
La diferencia común es
$$ d = -3 $$
Dado que d<0, la sucesión es decreciente.
Ejemplo 3
Consideremos la sucesión
$$ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ \dots $$
Se trata de una progresión aritmética constante.
En este caso, la diferencia común es
$$ d=0 $$
Propiedades fundamentales
Estas propiedades permiten trabajar con progresiones aritméticas de forma rápida y eficaz:
- El término general puede escribirse como $$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d $$
Ejemplo. Sea d=2 y a1=3 $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$ El cuarto término es $$ a_4 = 3+(4-1) \cdot 2 = 9 $$ ¿Por qué funciona esta fórmula? La diferencia entre términos consecutivos es constante $$ a_2 - a_{1} = d \\ a_3 - a_{2} = d \\ \vdots \\ a_n - a_{n-1} = d \\ $$ Sumando todas estas igualdades se obtiene $$ a_n - a_1 = (n-1) \cdot d $$
- Cualesquiera dos términos están relacionados por $$ a_x = a_y + (x-y) \cdot d $$
Ejemplo. En la sucesión $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$ se cumple $$ a_2 = a_4 + (2-4) \cdot 2 $$ $$ 5 = 9 -4 = 5 $$
- En los primeros n términos, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a a1+an
Ejemplo. $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 $$ Los extremos dan $$ a_1 + a_6 = 3+13 = 16 $$ Por ejemplo $$ a_2 + a_5 = 5+11 = 16 $$
- La suma de los primeros n términos viene dada por $$ S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} $$
Ejemplo. $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 $$ $$ 3+5+7+9+11+13 = 48 $$ Aplicando la fórmula $$ S_6 = 6 \cdot \frac{3+13}{2} = 48 $$
Y así sucesivamente.
