Progresiones aritméticas y geométricas
¿Qué es una sucesión numérica?
Una sucesión es una lista ordenada de números que se construye siguiendo una regla. Cada término depende de su posición y encaja dentro de un patrón bien definido. Entre los tipos más importantes destacan las progresiones aritméticas y las geométricas.
Entender cómo funcionan estos dos modelos es clave, porque aparecen constantemente en matemáticas, desde los primeros temas de álgebra hasta conceptos más avanzados.
Progresión aritmética
En una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. A este valor constante se le llama diferencia común. $$ a_n - a_{n-1} = d $$
Esto significa que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior $$ a_n = a_{n-1} + d $$
Ejemplo
La siguiente es una progresión aritmética
$$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$
La diferencia común es
$$ d = 2 $$
Cada término se obtiene sumando 2 al anterior
$$ a_n = a_{n-1} + 2 $$
A partir del primer término a1=3, la progresión se construye paso a paso
$$ a_2 = 3 + 2 = 5 \\ a_3 = 5 + 2 = 7 \\ a_4 = 7 + 2 = 9 \\ a_5 = 9 + 2 = 11 \\ a_6 = 11 + 2 = 13 $$
Progresión geométrica
En una progresión geométrica, el cociente entre dos términos consecutivos es constante. Este valor fijo se llama razón común. $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = q $$
Esto implica que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una misma cantidad $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$
Ejemplo
La siguiente es una progresión geométrica
$$ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 64 \ \dots $$
La razón común es
$$ q = 2 $$
Cada término se obtiene multiplicando por 2 el anterior
$$ a_n = a_{n-1} \cdot 2 $$
A partir del primer término a1=2, la progresión se construye paso a paso
$$ a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \\ a_3 = 4 \cdot 2 = 8 \\ a_4 = 8 \cdot 2 = 16 \\ a_5 = 16 \cdot 2 = 32 \\ a_6 = 32 \cdot 2 = 64 $$
Y así sucesivamente
