Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión numérica en la que el cociente entre cada término a_n y el anterior a_n-1 permanece constante. $$ q = \frac{a_n}{a_{n-1}} $$ Aquí, n es un número natural.

Este valor constante se llama razón común.

$$ q = \frac{a_n}{a_{n-1}} $$

En la práctica, a partir del segundo término, cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por q:

$$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$

De forma equivalente, cada término de la sucesión puede obtenerse dividiendo el término siguiente entre la razón.

$$ a_n = \frac{ a_{n+1}}{ q } $$

El valor de q determina cómo evoluciona la sucesión.

• q>0
  todos los términos tienen el mismo signo
  
  • si 0<q<1
    la sucesión es decreciente si los términos son positivos
    (y creciente si son negativos)
  • si q=1
    la sucesión es constante
  • si q>1
    la sucesión es creciente si los términos son positivos
    (y decreciente si son negativos)
• q<0
  los términos alternan de signo

Nota. Para que la razón común esté bien definida, es necesario que todos los términos sean distintos de cero, ya que implica dividir por a_n-1 En consecuencia, la razón nunca puede ser nula..

Una progresión geométrica puede tener un número finito o infinito de términos. Cuando es finita, se distinguen el primer término y el último término.

¿Por qué se llama progresión geométrica? Porque cada término coincide con la media geométrica de sus términos vecinos. $$ a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $$

Ejemplo

Consideremos la sucesión

$$ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 64 \ \dots $$

Se trata de una progresión geométrica con infinitos términos.

La razón común es

$$ q = 2 $$

Nota. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por q $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ 4 = 2 \cdot 2 \\ 8 = 4 \cdot 2 \\ 16 = 8 \cdot 2 \\ 32 = 16 \cdot 2 \\ 64 = 32 \cdot 2 \\ $$

Dado que q>0 y todos los términos son positivos, la sucesión es creciente.

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión

$$ 64 \ , \ 32 \ , \ 16 \ , \ 8 \ , \ 4 \ , \ 2 \ \dots $$

Se trata de una progresión geométrica finita.

El primer término es 64 y el último es 2.

La razón común es

$$ q = \frac{1}{2} $$

Dado que 0<q<1 y los términos son positivos, la sucesión es decreciente.

Nota. Los términos se obtienen de la siguiente forma $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ 32 = 64 \cdot \frac{1}{2} \\ 16 = 32 \cdot \frac{1}{2} \\ 8 = 16 \cdot \frac{1}{2} \\ 4 = 8 \cdot \frac{1}{2} \\ 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \\ $$

Ejemplo 3

Consideremos la sucesión

$$ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ \dots $$

Se trata de una progresión geométrica constante.

En este caso, la razón común es

$$ q = 1 $$

Ejemplo 4

Consideremos la sucesión

$$ 2 \ , \ -4 \ , \ 8 \ , \ -16 \ , \ 32 \ , \ -64 \ , \ \dots $$

En este caso, los términos alternan de signo porque la razón común es negativa.

$$ q = -2 $$

La sucesión no es monótona.

Nota. Los términos se obtienen de la siguiente forma $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ -4 = 2 \cdot (-2) \\ 8 = (-4) \cdot (-2) \\ -16 = 8 \cdot (-2) \\ 32 = (-16) \cdot (-2) \\ -64 = 32 \cdot (-2) \\ $$

Propiedades fundamentales

Estas propiedades permiten trabajar con progresiones geométricas de forma rápida y eficaz:

• El término general viene dado por $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$ para n ≥ 1

  Ejemplo. Sea q=3 y a₁=2 $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 \ , \ 486 \ \dots $$ El cuarto término es $$ a_4 = 2 \cdot 3^{3} = 54 $$ ¿Por qué funciona esta fórmula? En cada paso se multiplica por q, de modo que tras n-1 pasos se obtiene $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$

• Cualesquiera dos términos están relacionados por $$ a_x = a_y \cdot q^{x-y} $$

  Ejemplo. En la sucesión $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 \ , \ 486 \ \dots $$ se cumple $$ a_2 = a_4 \cdot q^{2-4} $$ $$ 6 = 54 \cdot 3^{-2} = 54 \cdot \frac{1}{9} = 6 $$

• Cada término es la media geométrica de sus términos adyacentes $$ a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $$

  Ejemplo. $$ a_3 = \sqrt{6 \cdot 54} = 18 $$

• En los primeros n términos, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a a₁⋅a_n

  Ejemplo. $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 $$ $$ a_1 \cdot a_5 = 324 $$ $$ a_2 \cdot a_4 = 324 $$

• El producto de los primeros n términos viene dado por $$ P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} $$

  Ejemplo. $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 $$ $$ P_4 = 11664 $$ $$ P_4 = \sqrt{(2 \cdot 54)^4} = 11664 $$

• Suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica
  La suma de los primeros $ n $ términos de una sucesión geométrica de razón $ q \ne 1 $ se expresa mediante la fórmula $$ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1} $$ donde $ a_1 $ es el primer término de la sucesión. Esta expresión también puede escribirse en la forma $$ S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$ Ambas formulaciones son equivalentes, ya que se obtienen al multiplicar numerador y denominador por $ -1 $.

  Ejemplo. Considero una sucesión geométrica con primer término $ a_1 = 2 $ y razón $ q = 3 $. Los cuatro primeros términos ($ n = 4 $) son: $$ 2,\ 6,\ 18,\ 54 $$ Calculo la suma de forma directa: $$ S_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 $$ A continuación, aplico la fórmula: $$ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $$ $$ S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81-1}{2} = 80 $$ Por lo tanto, el resultado coincide con la suma obtenida directamente.

Y así sucesivamente.