Subsucesiones

Una subsucesión a_{n_k} es una nueva sucesión formada a partir de una sucesión original a_n, eligiendo solo ciertos términos cuyos índices n_k siguen un orden creciente. El objetivo es analizar el comportamiento de la sucesión original a través de algunos de sus valores.

Un ejemplo para fijar la idea

Partamos de la sucesión general:

$$ a_n = a_1, a_2, a_3, a_4, \dots $$

Si seleccionamos únicamente los términos con índice par, es decir, aquellos para los que n_k = 2k, obtenemos:

$$ a_{n_k} = a_2, a_4, \dots $$

Esta nueva sucesión es una subsucesión de a_n, formada únicamente por los términos en posiciones pares.

Nota. Si, en cambio, seleccionamos los términos con índices impares, donde n_k = 2k - 1, también obtenemos una subsucesión de a_n.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la sucesión:

$$ a_n = n^2 $$

Sus primeros términos son:

$$ a_n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots $$

Si extraemos la subsucesión definida por n_k = 2k, es decir, tomando solo los valores situados en posiciones pares, obtenemos:

$$ a_{n_k} = 4, 16, 36, \dots $$

Observamos que la nueva sucesión conserva la estructura de la original, pero restringida a una selección concreta de términos.

Teoremas fundamentales

Teorema 1

Si la sucesión de índices n_k es estrictamente creciente, entonces se cumple que n_k ≥ k.

Esto significa que el índice de cada término de la subsucesión siempre es mayor o igual que su posición dentro de ella.

Ejemplo

Consideremos la elección:

$$ n_k = 2k $$

Entonces n₁ = 2, n₂ = 4 y así sucesivamente, verificándose siempre n_k ≥ k.

Demostración

La demostración utiliza la inducción matemática. Para k = 1 se cumple:

$$ P(1): n_1 \ge 1 $$

Suponemos ahora que la afirmación es cierta para algún k:

$$ P(k): n_k \ge k $$

y demostramos que también se cumple para k + 1:

$$ P(k+1): n_{k+1} \ge k+1 $$

Dado que la sucesión n_k es estrictamente creciente, se tiene:

$$ n_{k+1} > n_k $$

y puesto que n_k ≥ k, se obtiene:

$$ n_{k+1} > n_k \ge k $$

lo cual implica:

$$ n_{k+1} \ge k+1 $$

Con esto queda demostrado el resultado.

Teorema 2

Si una sucesión a_n es estrictamente creciente y converge a un límite l, entonces cualquier subsucesión extraída de ella también converge al mismo límite l.

Demostración

Si a_n converge, entonces para cualquier ε > 0 existe un valor v tal que:

$$ |a_n - l| < \epsilon \quad \forall n > v $$

Además, toda subsucesión cumple:

$$ n_k \ge k $$

Así, cuando k > v, resulta:

$$ |a_{n_k} - l| < \epsilon $$

por lo que la subsucesión converge también a l.