Subsucesiones
Una subsucesión \( (a_{n_k}) \) de una sucesión \( (a_n) \) se obtiene seleccionando algunos de sus términos de modo que los índices \( (n_k) \) formen una sucesión estrictamente creciente de números naturales.
En otras palabras, una subsucesión surge al escoger ciertos elementos de la sucesión original, respetando siempre el orden en el que aparecen.
Dada una sucesión
\[ (a_n) \]
se eligen índices tales que
\[ n_1 < n_2 < n_3 < \dots \]
Así se construye una nueva sucesión
\[ (a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots) \]
que recibe el nombre de subsucesión de \( (a_n) \).
Primer ejemplo
Consideremos la sucesión \( (a_n) \)
$$ a_n = a_1, a_2, a_3, a_4, \dots $$
Si seleccionamos únicamente los términos de índice par, definidos por \( n_k = 2k \), obtenemos
$$ a_{n_k} = a_2, a_4, \dots $$
Esta nueva sucesión es una subsucesión de la original.
Nota. Si, en cambio, elegimos los índices impares \( n_k = 2k - 1 \), obtenemos otra subsucesión igualmente válida.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la sucesión
$$ a_n = n^2 $$
Sus primeros términos son
$$ a_n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots $$
Si seleccionamos únicamente índices pares, \( n_k = 2k \), obtenemos
Por ejemplo, \( n_1 = 2 \), \( n_2 = 4 \), y así sucesivamente.
La subsucesión correspondiente es
$$ a_{n_k} = 4, 16, 36, \dots $$
Teorema del límite de las subsucesiones
Si una sucesión \( (a_n) \) converge a un límite finito \( l \in \mathbb{R} \), o diverge a \( +\infty \) o a \( -\infty \), entonces toda subsucesión converge o diverge hacia ese mismo límite.
Esto significa que el comportamiento al infinito de la sucesión original se transmite a todas sus subsucesiones.
Si \( a_n \to l \), entonces cualquier subsucesión \( (a_{n_k}) \) también cumple \( a_{n_k} \to l \).
Si, por el contrario, \( a_n \to +\infty \) o \( a_n \to -\infty \), todas las subsucesiones divergen en la misma dirección.
Nota. Este resultado se aplica cuando la sucesión es convergente o divergente. Si la sucesión no converge, sus subsucesiones pueden comportarse de forma distinta. Por ejemplo, la sucesión \( a_n = (-1)^n \) oscila: $$ (-1)^n = -1, +1, -1, +1, \dots $$ y no tiene límite. Sin embargo, la subsucesión de índices pares es constante: $$ (-1)^{2n} = +1, +1, +1, \dots $$ y, por tanto, converge. Esto muestra que el hecho de que una subsucesión converja no garantiza que la sucesión original también lo haga.
Veamos algunos ejemplos para fijar estas ideas.
Ejemplo 1
Consideremos la sucesión
\[ a_n = \frac{1}{n} \]
Sus términos son
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Su límite es
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{n} \to 0 \]
Si tomamos la subsucesión de índices pares, obtenemos
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = \frac{1}{2n} \to 0 \]
Si tomamos índices cuadrados, obtenemos
\[ \lim_{n \to \infty} a_{n^2} = \frac{1}{n^2} \to 0 \]
Todas las subsucesiones convergen al mismo límite.
Ejemplo 2
Consideremos la sucesión
\[ a_n = n + 1 \]
Sus términos son
\[ 2,3,4,5,6,\dots \]
Esta sucesión diverge hacia \( +\infty \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = n+1 \to +\infty \]
La subsucesión de índices pares presenta el mismo comportamiento
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = 2n + 1 \to +\infty \]
Lo mismo ocurre al considerar índices cuadrados
\[ \lim_{n \to \infty} a_{n^2} = n^2 + 1 \to +\infty \]
Todas las subsucesiones divergen hacia \( +\infty \).
Ejemplo 3
Consideremos la sucesión
\[ a_n = -n \]
Sus términos son
\[ -1,-2,-3,-4,\dots \]
Esta sucesión diverge hacia \( -\infty \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -n \to -\infty \]
Las subsucesiones presentan el mismo comportamiento
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = -2n \to -\infty \]
Todas las subsucesiones divergen hacia \( -\infty \).
Ejemplo 4
Consideremos la sucesión
\[ a_n = (-1)^n \]
Esta sucesión oscila y no tiene límite
\[ -1,1,-1,1,-1,1,\dots \]
Si tomamos la subsucesión de índices pares
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = (-1)^{2n} \to +1 \]
Si tomamos la subsucesión de índices impares
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n+1} = (-1)^{2n+1} \to -1 \]
En este caso, distintas subsucesiones convergen a límites distintos.
Resultados adicionales sobre subsucesiones
Teorema 1
Si \( (n_k) \) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, entonces se cumple \( n_k \ge k \) para todo \( k \in \mathbb{N} \).
Esto indica que los índices de una subsucesión no pueden crecer más lentamente que la sucesión de los números naturales.
Ejemplo
Si \( n_k = 2k \), entonces
para \( k=1 \), \( n_1=2 \);
para \( k=2 \), \( n_2=4 \);
y así sucesivamente.
Demostración
La demostración se realiza por inducción matemática.
Caso base:
$$ P(1): n_1 \ge 1 $$
Hipótesis de inducción:
$$ P(k): n_k \ge k $$
Paso inductivo:
Dado que la sucesión \( (n_k) \) es estrictamente creciente,
$$ n_{k+1} > n_k $$
Aplicando la hipótesis de inducción,
$$ n_{k+1} > n_k \ge k $$
Por consiguiente,
$$ n_{k+1} \ge k+1 $$
Queda así demostrada la proposición.
Teorema 2
Si una sucesión \( (a_n) \) es estrictamente creciente y converge a un límite \( l \), entonces toda subsucesión \( (a_{n_k}) \) converge también a \( l \).
Demostración
Dado que \( (a_n) \) converge, para todo \( \epsilon > 0 \) existe \( N \in \mathbb{N} \) tal que
$$ |a_n - l| < \epsilon \quad \forall n > N $$
Como \( n_k \ge k \), si \( k > N \) entonces también \( n_k > N \).
En consecuencia,
$$ |a_{n_k} - l| < \epsilon $$
Por lo tanto, \( a_{n_k} \to l \).
Y así sucesivamente.
