Teorema del cociente para límites

Sean $ f(x) $ y $ g(x) $ dos funciones que tienen límite finito en un punto $ x_0 $: $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$ $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m $$ Si $ m \ne 0 $, entonces el límite del cociente es igual al cociente de los límites: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{l}{m} $$

Dicho de forma sencilla, el límite “respeta” la división, siempre que el denominador no tienda a cero.

La condición $ m \neq 0 $ es fundamental. Si el denominador se aproxima a cero, el cociente puede dejar de tener límite finito o dar lugar a una forma indeterminada.

Nota. La idea es clara: no existe la división entre cero en $ \mathbb{R} $. Por eso es necesario estudiar las formas indeterminadas como $ \frac{0}{0} $, $ \frac{\infty}{\infty} $ y otras expresiones similares. En estos casos no basta con sustituir directamente el valor, sino que se requieren técnicas de análisis más precisas.

Ejemplo resuelto
Demostración

Ejemplo resuelto

Calculemos el límite

$$ \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x+3} $$

Definimos las funciones:

$$ f(x) = 2x + 1 $$ $$ g(x) = x + 3 $$

Ahora evaluamos sus límites cuando $ x \to 1 $:

$$ \lim_{x \to 1} f(x) = 2(1) + 1 = 3 $$ $$ \lim_{x \to 1} g(x) = 1 + 3 = 4 $$

Como el límite del denominador es $ 4 \neq 0 $, podemos aplicar directamente el teorema del cociente:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x+3} = \frac{3}{4} $$

El resultado coincide con el valor de la función en $ x = 1 $, ya que numerador y denominador son polinomios, y los polinomios son continuos en todo $ \mathbb{R} $.

Nota. Veamos por qué la condición $ m \neq 0 $ es realmente necesaria. Consideremos el límite $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2}. $$ Para todo número real distinto de 2 se cumple que $$ \frac{x-2}{x-2} = 1. $$ Por tanto, $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} = 1. $$ Sin embargo, el límite del denominador cuando $ x \to 2 $ es $$ \lim_{x \to 2} (x-2) = 0. $$ Si aplicáramos el teorema de manera automática, escribiríamos $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} = \frac{\lim_{x \to 2} (x-2)}{\lim_{x \to 2} (x-2)} = \frac{0}{0}, $$ que es una forma indeterminada. Este ejemplo muestra que la restricción sobre el denominador no es un detalle técnico, sino una condición matemática imprescindible.

Demostración

La demostración es directa. Reescribimos el cociente como un producto:

$$ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} $$

$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \neq 0, $$

entonces, por el teorema del límite de la función recíproca,

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{m}. $$

Aplicamos ahora el teorema del límite del producto:

$$ \lim_{x \to x_0} \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \left( \lim_{x \to x_0} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} \right). $$

Sustituyendo los límites obtenidos,

$$ l \cdot \frac{1}{m} = \frac{l}{m}. $$

Con esto queda demostrada la regla del cociente.

Y así sucesivamente.