Teorema del emparedado (Squeeze theorem)
Sean \( h(x) \), \( f(x) \) y \( g(x) \) funciones reales definidas en un mismo dominio, posiblemente con el punto \( x_0 \) excluido. Si para todo \( x \neq x_0 \) se cumple $$ h(x) \le f(x) \le g(x) $$ y además $$ \lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell $$ entonces $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell $$
El teorema del emparedado es una de las ideas más útiles en el cálculo de límites. Permite determinar el comportamiento de una función sin necesidad de conocer todos sus detalles.
La estrategia es simple. Si una función queda atrapada entre otras dos más fáciles de analizar, y ambas convergen al mismo valor, la función intermedia también debe converger a ese valor.
En términos intuitivos, \( f(x) \) no puede "escaparse". Al estar acotada por funciones que se aproximan a \( \ell \), ella también se ve obligada a acercarse al mismo límite.
Nota. La interpretación geométrica ayuda a visualizar el resultado. Cuando \( x \) se aproxima a \( x_0 \), las funciones \( h(x) \) y \( g(x) \) se sitúan cada vez más cerca de \( \ell \). Como \( f(x) \) siempre permanece entre ambas, su valor también termina aproximándose a \( \ell \).
¿Cuándo conviene aplicarlo?
Este teorema resulta especialmente eficaz cuando el límite de \( f(x) \) es difícil de calcular directamente, pero es posible encontrar cotas adecuadas con límites conocidos.
Ejemplo práctico
Supongamos que una función \( f(x) \), en un entorno de \( 0 \), satisface
$$ -x^2 \le f(x) \le x^2 $$
Las funciones que la acotan tienen el mismo límite:
$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0, \qquad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
Por el teorema del emparedado, se concluye que
$$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $$
Obsérvese que no fue necesario conocer la expresión explícita de \( f(x) \).
Nota. El teorema del emparedado también es válido para límites cuando \( x \to +\infty \) o \( x \to -\infty \). Además, los límites de las funciones de comparación no necesitan ser finitos.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
\( f(x) = x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \), para \( x \neq 0 \).
Queremos calcular
$$ \lim_{x \to 0} f(x) $$
Sabemos que la función seno verifica la desigualdad
$$ -1 \le \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le 1 $$
Multiplicando por \( x^2 \), obtenemos
$$ -x^2 \le x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le x^2 $$
Dado que \( x^2 \ge 0 \), el sentido de las desigualdades se conserva.
Tomamos límites:
$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) \le \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le \lim_{x \to 0} x^2 $$
Como
$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0, \qquad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
se deduce que
$$ 0 \le \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le 0 $$
Por lo tanto,
$$ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 0 $$
Aunque \( \sin(1/x) \) oscila indefinidamente, el factor \( x^2 \) controla el comportamiento del producto y lo hace converger a cero.
Demostración
Sea \( \varepsilon > 0 \) arbitrario.
Supongamos que
$$ h(x) \le f(x) \le g(x), \qquad x \neq x_0 $$
y que
$$ \lim_{x \to x_0} h(x) = \ell, \qquad \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell $$
Por definición de límite, existe un entorno perforado \( I_1 \) de \( x_0 \) tal que
$$ |h(x) - \ell| < \varepsilon \quad \text{para todo } x \in I_1 $$
Equivalente a
$$ \ell - \varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon $$
De forma análoga, existe un entorno perforado \( I_2 \) de \( x_0 \) tal que
$$ |g(x) - \ell| < \varepsilon $$
es decir,
$$ \ell - \varepsilon < g(x) < \ell + \varepsilon. $$
Sea \( I = I_1 \cap I_2 \).
Para todo \( x \in I \),
$$ \ell - \varepsilon < h(x) \le f(x) \le g(x) < \ell + \varepsilon $$
Por consiguiente,
$$ \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon $$
lo cual equivale a
$$ |f(x) - \ell| < \varepsilon $$
Como esta condición se cumple para todo \( \varepsilon > 0 \), concluimos
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell $$
Queda demostrada la proposición.
Y así sucesivamente.
