Formas Indeterminadas en los Límites
Al calcular límites, con frecuencia aparecen formas indeterminadas: situaciones en las que el resultado no es evidente de inmediato y exige un análisis más detallado. Estas son las formas indeterminadas más habituales en problemas de límites:
El hecho de que un límite adopte una forma indeterminada no implica que el límite no exista.
Para evaluarlo, es necesario reescribir o simplificar la expresión de modo que desaparezca la indeterminación.
Cómo Resolver una Forma Indeterminada
Existen varias técnicas para abordar límites que presentan formas indeterminadas:
- Manipulación algebraica. En muchos casos, el límite se resuelve tras aplicar transformaciones algebraicas apropiadas. Reescribir la expresión en una forma equivalente suele bastar para eliminar la ambigüedad. No obstante, este procedimiento no siempre resulta sencillo ni garantiza una transformación adecuada.
Ejemplo 1. Este límite presenta una forma indeterminada del tipo 0/0: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}} = \frac{0}{0} $$ Simplificando algebraicamente, se obtiene: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 $$ Ejemplo 2. En otros casos, funciones exponenciales o trigonométricas pueden aproximarse mediante series de Taylor para calcular el límite.
- Regla de L’Hôpital. Cuando un límite adopta la forma 0/0 o ∞/∞ y las funciones son derivables, puede aplicarse la Regla de L’Hôpital. Consiste en derivar numerador y denominador -repitiendo el proceso si es necesario- hasta obtener un límite determinado (finito o infinito).
Ejemplo. Consideremos el siguiente límite, que inicialmente aparece como ∞/∞: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = \frac{\infty}{\infty} $$ Aplicando la Regla de L’Hôpital, derivamos numerador y denominador: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{D[n-1]}{D[n]} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1} = 1 $$ Por tanto, el límite vale 1.
Formas Determinadas
No toda aparición de ceros o infinitos en un límite genera una forma indeterminada.
Por ejemplo, las siguientes expresiones no son indeterminadas:
| $$ k + \infty = +\infty $$ | Un número real k sumado con infinito |
| $$ k - \infty = -\infty $$ | Un número real k menos infinito |
| $$ \infty+\infty = \infty $$ | Infinito más infinito |
| $$ k \cdot \infty = \infty $$ | Una constante distinta de cero multiplicada por infinito |
| $$ \infty \cdot \infty = \infty $$ | Infinito por infinito |
| $$ \frac{k}{\infty} = 0 $$ | Una constante k dividida entre infinito |
| $$ \frac{0}{\infty} = 0 $$ | Cero dividido entre infinito |
| $$ \frac{\infty}{k} = \infty $$ | Infinito dividido entre una constante no nula k |
| $$ \frac{k}{0} = \infty $$ | Una constante no nula k dividida entre cero |
En estos casos, el resultado está bien definido desde el punto de vista algebraico. No se consideran formas indeterminadas.
Y así sucesivamente.
