Límite del producto de dos funciones

Sean $ f(x) $ y $ g(x) $ dos funciones que admiten límites finitos en el mismo punto \( x_0 \): \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R} \] \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \in \mathbb{R} \] Entonces, el límite de su producto es igual al producto de sus límites: \[ \lim_{x \to x_0} [f(x)\cdot g(x)] = l \cdot m \]

Este resultado es uno de los teoremas fundamentales de la teoría de límites.

Cuando \( x \) se aproxima a \( x_0 \), \( f(x) \) converge hacia \( l \) y \( g(x) \) converge hacia \( m \).

\[ f(x) \approx l \quad \text{y} \quad g(x) \approx m \;\Longrightarrow\; f(x)g(x) \approx lm. \]

Por consiguiente, el producto \( f(x)g(x) \) converge hacia \( l \cdot m \).

El caso de una constante por una función

Si $ g(x)=k $ es constante, se obtiene una regla operativa de aplicación directa:

$$ \lim_{x \to x_0} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = k \cdot l $$

Esto se justifica porque la multiplicación por una constante reescala uniformemente todos los valores de la función.

En consecuencia, si \( f(x) \to l \) cuando \( x \to x_0 \), entonces \( k f(x) \to k l \).

Un ejemplo práctico

Consideremos las funciones

$$ f(x) = x $$

$$ g(x) = x+1 $$

Calculemos los límites cuando \( x \to 2 \):

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 2 \]

\[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \]

Ahora evaluamos el límite del producto:

\[ \lim_{x \to 2} f(x) \cdot g(x)  \]

\[ \lim_{x \to 2} x \cdot (x+1) = 2 \cdot (2+1) = 6  \]

Aplicando el teorema del límite del producto se obtiene el mismo valor:

\[ \lim_{x \to 2} [x(x+1)] = 2 \cdot 3 = 6 \]

La concordancia entre ambos procedimientos verifica el teorema.

Demostración

La demostración se estructura en dos etapas. Primero se analiza el caso elemental \( l = m = 0 \), posteriormente se aborda el caso general.

1] Caso simple: \( l = m = 0 \)

Sean dos funciones cuyos límites se anulan cuando $ x \to x_0 $:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \]

\[ \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \]

Por definición de límite, para todo número positivo arbitrariamente pequeño \( \varepsilon > 0 \), existe un entorno de \( x_0 \) en el que se cumple:

\[ |f(x)| < \varepsilon \quad \text{y} \quad |g(x)| < \varepsilon \]

Si ambas desigualdades se satisfacen en un mismo entorno, podemos multiplicarlas miembro a miembro:

\[ |f(x)g(x)| = |f(x)| \, |g(x)| < \varepsilon \cdot \varepsilon = \varepsilon^2 \]

Puesto que \( \varepsilon \) es arbitrario, \( \varepsilon^2 \) también puede hacerse tan pequeño como se quiera. En consecuencia:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0 \]

Queda demostrado que, si ambos límites son nulos, el límite del producto también es nulo.

2] Caso general: \( l \) y \( m \) arbitrarios

Supongamos ahora que los límites existen y son finitos:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]

\[ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \]

Consideremos las funciones desplazadas, cuyos límites son cero:

\[ \lim_{x \to x_0} (f(x) - l) = 0 \]

\[ \lim_{x \to x_0} (g(x) - m) = 0 \]

Por el caso simple ya demostrado:

\[ \lim_{x \to x_0} (f(x) - l)(g(x) - m) = 0 \]

Desarrollamos el producto:

\[ (f(x) - l)(g(x) - m) =  f(x)g(x) - m f(x) - l g(x) + lm \]

Reordenamos para aislar \( f(x)g(x) \):

\[ f(x)g(x) = (f(x) - l)(g(x) - m)  + mf(x) + lg(x) - lm \]

Tomamos el límite cuando $ x \to x_0 $ en ambos miembros:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0} \left[(f(x) - l)(g(x) - m)  + mf(x) + lg(x) - lm \right] \]

Aplicamos el teorema del límite de la suma:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0} (f(x) - l)(g(x) - m)  + \lim_{x \to x_0} mf(x) + \lim_{x \to x_0} lg(x) - \lim_{x \to x_0} lm \]

Dado que \( \lim_{x \to x_0}(f(x) - l)(g(x) - m) = 0 \):

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + \lim_{x \to x_0} mf(x) + \lim_{x \to x_0} lg(x) - \lim_{x \to x_0} lm \]

Aplicando el teorema del factor constante:

\[ \lim_{x \to x_0} mf(x) = m \lim_{x \to x_0} f(x) = ml = lm \]

\[ \lim_{x \to x_0} lg(x) = l \lim_{x \to x_0} g(x) = lm \]

Además:

\[ \lim_{x \to x_0} lm = lm \]

Sustituyendo los resultados obtenidos:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + lm + lm - lm \]

Por lo tanto:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = lm \]

Como se quería demostrar 

Producto de una constante por una función

Sea \( k \in \mathbb{R} \), con \( k \neq 0 \). Si la función $ f(x) $ admite un límite finito \[ \lim_{x \to a} f(x) = l \] entonces el límite del producto coincide con la constante multiplicada por el límite de la función: \[ \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) = k l \]

Desde el punto de vista analítico, multiplicar una función por una constante equivale a escalar proporcionalmente todos sus valores.

En consecuencia, si \( f(x) \to l \) cuando \( x \to x_0 \), entonces \( k f(x) \to k l \).

La constante no interviene en el proceso de convergencia, únicamente modifica el valor del límite.

Ejemplo práctico

Consideremos la función

\[ f(x) = x^2 - 1 \]

Calculemos el límite cuando \( x \to 2 \).

La función es continua en \( x_0 = 2 \), por lo que la sustitución directa resulta válida:

\[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \]

Multiplicamos ahora la función por una constante positiva:

\[ 5 f(x) = 5(x^2 - 1) \]

Evaluamos el límite:

\[ \lim_{x \to 2} 5(x^2 - 1) = 5(2^2 - 1) = 5 \cdot 3 = 15 \]

Aplicando el teorema del factor constante se obtiene exactamente el mismo resultado:

\[ \lim_{x \to 2} 5(x^2 - 1) = 5 \cdot \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 5 \cdot 3 = 15 \]

El valor final es consistente.

Demostración

Se analizan dos casos: \( k > 0 \) y \( k < 0 \).

1] Caso \( k > 0 \)

Supongamos que

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]

Por la definición \( \varepsilon \) del límite, para todo \( \varepsilon > 0 \) existe un entorno de \( x_0 \) tal que

\[ l - \frac{\varepsilon}{k} < f(x) < l + \frac{\varepsilon}{k} \]

Multiplicando por \( k \), y dado que \( k > 0 \) preserva el sentido de las desigualdades:

\[ k l - \varepsilon < k f(x) < k l + \varepsilon \]

Esta expresión coincide con la definición de

\[ \lim_{x \to x_0} [k f(x)] = k l \]

2] Caso \( k < 0 \)

Si \( k < 0 \), entonces \( -k > 0 \). Aplicamos el resultado anterior a \( -k \):

\[ \lim_{x \to x_0} [(-k) f(x)] = (-k) l \]

Por definición de límite, para todo \( \varepsilon > 0 \) existe un entorno de \( x_0 \) tal que

\[ -k l - \varepsilon < (-k) f(x) < -k l + \varepsilon \]

Multiplicando por \( -1 \), se invierte el sentido de las desigualdades:

\[ k l + \varepsilon > k f(x) > k l - \varepsilon \]

Reordenando:

\[ k l - \varepsilon < k f(x) < k l + \varepsilon \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{x \to x_0} [k f(x)] = k l \]

En conclusión,

\[ \lim_{x \to a} [k f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) \]

Como se quería demostrar.

Cuando las funciones no admiten ambas límites finitos

El teorema del límite del producto se aplica directamente cuando ambas funciones admiten límites finitos.

El análisis exige mayor atención cuando intervienen el cero o el infinito. En particular, la expresión \( 0 \cdot \infty \) representa una forma indeterminada.

Si al menos una de las funciones no admite un límite finito, pueden presentarse comportamientos diferentes.

	ℓ > 0	ℓ < 0	0	+∞	-∞
m > 0	m·ℓ	m·ℓ	0	+∞	-∞
m < 0	m·ℓ	m·ℓ	0	-∞	+∞
0	0	0	0	?	?
+∞	+∞	-∞	?	+∞	-∞
-∞	-∞	+∞	?	-∞	+∞

Las celdas marcadas con un signo de interrogación corresponden a formas indeterminadas, cuyo estudio requiere técnicas analíticas más avanzadas.

En general, cuando no se garantiza la existencia de límites finitos, la regla del producto no puede aplicarse de forma automática.

Ejemplo práctico

Consideremos

\[ \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} \]

Sabemos que

\[ \lim_{x \to +\infty} x = \infty \]

\[ \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \]

Por lo tanto, aparece la forma

\[ \infty \cdot 0 \]

Se trata de una forma indeterminada, por lo que la regla del producto no es aplicable directamente.

Estrategia de cálculo

Reescribimos el producto como un cociente:

\[ \lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} \]

Se obtiene así la forma indeterminada

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

Dado que la función exponencial crece más rápidamente que cualquier función lineal,

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 \]

En consecuencia, el límite original es igual a cero.