Teorema del Apretón (Squeeze Theorem)

Consideremos tres sucesiones a_n, b_n y c_n. Si para todo n > 0 se cumple que $$ a_n \le b_n \le c_n $$ y además ambas sucesiones a_n y c_n convergen al mismo límite l, es decir, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = l $$ entonces la sucesión b_n también converge a l. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = l $$

Este resultado constituye un ejemplo clásico de un teorema de comparación empleado en el estudio de los límites de sucesiones.

El mismo principio se extiende de manera natural al análisis de los límites de funciones.

Un ejemplo práctico

Consideremos las siguientes tres sucesiones:

$$ a_n = \frac{n+1}{n} $$

$$ b_n = \frac{n+2}{n} $$

$$ c_n = \frac{n+3}{n} $$

que verifican la relación de orden:

$$ a_n \le b_n \le c_n $$

Los límites de a_n y c_n son ambos iguales a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n} = 1 $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+3}{n} = 1 $$

Nota. Estos dos límites constituyen ejemplos de una forma indeterminada del tipo ∞/∞, que puede evaluarse fácilmente aplicando la Regla de L'Hôpital.

En virtud del Teorema del Apretón, se concluye que la sucesión intermedia b_n también converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+2}{n} = 1 $$

Y, efectivamente, así es.

¿Por qué se llama Teorema del Apretón? Se le da este nombre porque describe cómo una sucesión (o una función) queda “apretada” entre otras dos. Si las sucesiones exteriores tienden al mismo límite, la que se encuentra entre ellas no tiene más remedio que aproximarse a ese mismo valor. La idea puede imaginarse como dos barreras que se cierran sobre un punto, obligando a la sucesión intermedia a alcanzar el mismo límite. El nombre ilustra con claridad esta noción de “encerrar” el comportamiento de la sucesión intermedia mediante sus cotas superior e inferior.

Demostración

Por hipótesis, para todo ε > 0 existen valores v₁ y v₂ tales que:

$$ \exists v_1 \;\; \text{tal que} \;\; |a_n - l| < \epsilon \quad \forall n > v_1 $$

$$ \exists v_2 \;\; \text{tal que} \;\; |c_n - l| < \epsilon \quad \forall n > v_2 $$

Podemos reescribir estas desigualdades con valor absoluto en forma de intervalos del siguiente modo:

$$ l - \epsilon < a_n < l + \epsilon $$

$$ l - \epsilon < c_n < l + \epsilon $$

Ahora tomemos el máximo entre v₁ y v₂:

$$ v = \max(v_1, v_2) $$

Con esta elección, ambas desigualdades se cumplen para todo n > v.

Por lo tanto, se obtiene la desigualdad combinada:

$$ l - \epsilon < a_n \le b_n \le c_n < l + \epsilon $$

Aislando b_n, se tiene:

$$ l - \epsilon < b_n < l + \epsilon $$

Y finalmente, esta expresión puede escribirse en forma de valor absoluto:

$$ |b_n - l| < \epsilon \quad \forall n > v $$

Con ello queda demostrado que la sucesión b_n también converge a l.

Y así concluye la demostración.