Límites laterales de una función

Cuando analizamos una función, el comportamiento cerca de un punto puede observarse desde dos direcciones distintas. Si nos acercamos a x₀ desde valores mayores que x₀, hablamos del límite lateral derecho:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) $$ En cambio, si nos aproximamos desde valores menores, hablamos del límite lateral izquierdo:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) $$

Estos límites describen cómo se comporta la función al aproximarse a un punto, y pueden ser finitos o tender al infinito. En algunos casos, la función no posee ninguno de los dos, lo que indica una discontinuidad en ese punto.

Ejemplo. La función logarítmica f(x) = log(x) solo está definida para valores positivos de x, es decir, x ∈ (0, +∞). Por eso, el límite cuando x tiende a 0 solo puede considerarse por la derecha, cuando x → 0⁺. No existe límite lateral izquierdo porque la función no está definida para valores negativos.

Límite lateral derecho

Decimos que el límite lateral derecho de una función f(x) cuando x → x₀⁺ es igual a l si, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f(x) - l| < ε siempre que x esté dentro del intervalo (x₀, x₀ + δ):
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l $$

En notación formal:

$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists \delta>0: |f(x)-l|<\epsilon, \forall x \in (x_0, x_0+\delta) $$

Observación. Este tipo de límite también puede entenderse mediante sucesiones. Si tomamos una sucesión x_n que se aproxima a x₀ por la derecha, los valores de f(x_n) deben acercarse a l a medida que n crece.

Ejemplo

Consideremos la función f(x) = 1/x, que no está definida en x = 0:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Analizamos su comportamiento cuando x se aproxima a 0 por la derecha, sin llegar a tocar el punto:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} $$

El límite lateral derecho existe y es igual a +∞:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$

Gráficamente, esto significa que la función crece sin límite al acercarse al eje y desde la derecha:

Límite lateral izquierdo

De manera análoga, el límite lateral izquierdo de una función f(x) cuando x → x₀^- es igual a l si, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f(x) - l| < ε para todo x dentro del intervalo (x₀ - δ, x₀):
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l $$

En forma simbólica:

$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists \delta>0: |f(x)-l|<\epsilon, \forall x \in (x_0-\delta, x_0) $$

Observación. También puede expresarse con sucesiones: si una sucesión x_n se aproxima a x₀ desde la izquierda, los valores f(x_n) deben acercarse a l conforme n aumenta.

Ejemplo

Consideremos nuevamente la función f(x) = 1/x, no definida en x = 0:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Calculamos ahora el límite cuando x se aproxima a 0 por la izquierda:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} $$

En este caso, el límite lateral izquierdo existe y es igual a -∞:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = -\infty $$

Observación. El resultado es negativo porque al aproximarse a cero desde la izquierda, los valores de x son negativos (por ejemplo, x = -0.3, x = -0.1, x = -0.01), lo que hace que 1/x tome valores cada vez más grandes en magnitud pero negativos.

En el plano cartesiano, la gráfica se muestra así:

Comprender los límites laterales es esencial para estudiar la continuidad de una función y detectar puntos de salto o de divergencia. Son una herramienta básica en el análisis matemático, pero también una de las más útiles para interpretar el comportamiento real de las funciones en su entorno inmediato.