Teorema de la Conservación del Signo en el Límite de una Función

El teorema de la conservación del signo establece que si una función continua toma un valor positivo en un punto, entonces también será positiva en un entorno cercano a ese punto. En otras palabras, la continuidad garantiza que el signo de la función no cambia bruscamente alrededor de ese valor.

Ejemplo

Veamos un ejemplo sencillo con la función:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

En el punto x₀ = 2, la función vale:

$$ f(2) = 0.5 $$

Tomemos un entorno alrededor de x₀ con δ = 0.2:

$$ (x_0 - \delta, \, x_0 + \delta) = (1.8, \, 2.2) $$

En este intervalo, la función sigue siendo positiva para todos los valores de x:

$$ f(1.8) = \frac{1}{1.8} = 0.55, \quad f(2.2) = \frac{1}{2.2} = 0.45 $$

Podemos comprobar que, aunque los valores de la función cambian ligeramente, el signo se mantiene constante.

Observación. Si f(x₀) > 0, siempre existe un número δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x dentro del intervalo (x₀ - δ, x₀ + δ). Lo mismo se cumple si f(x₀) < 0: la función será negativa en un entorno de x₀.

Demostración

La idea es sencilla, pero el razonamiento matemático que la respalda es riguroso. Supongamos que la función es continua y positiva en el punto x₀:

$$ f(x_0) > 0 $$

Tomamos un valor pequeño, por ejemplo:

$$ \epsilon = \frac{f(x_0)}{2} $$

Por la definición de límite, la continuidad garantiza que existe un δ > 0 tal que, para todo x suficientemente próximo a x₀, se cumple:

$$ |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $$

De esta desigualdad obtenemos:

$$ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x) - f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2} $$

Si sumamos f(x₀) en todos los términos, resulta:

$$ f(x_0) - \frac{f(x_0)}{2} < f(x) < f(x_0) + \frac{f(x_0)}{2} $$

Lo que equivale a:

$$ \frac{f(x_0)}{2} < f(x) < \frac{3f(x_0)}{2} $$

Como f(x₀) > 0, el término f(x₀)/2 también es positivo. Por tanto, f(x) se mantiene estrictamente positiva dentro del entorno (x₀ - δ, x₀ + δ).

Interpretación

Este resultado, aunque aparentemente simple, tiene un significado profundo. Muestra que la continuidad de una función impide que su signo cambie de manera súbita. Si en un punto la función es positiva, no puede volverse negativa de inmediato: antes debe pasar por el valor cero. De modo análogo, si en un punto es negativa, seguirá siéndolo en una vecindad cercana.

El teorema de la conservación del signo es una herramienta esencial en el análisis matemático. Sirve como base para resultados más avanzados, como el teorema de los valores intermedios y muchas propiedades de las funciones continuas.