Límite por arriba y por abajo
Cuando una función tiene un límite finito \( l \) cuando \( x \to x_0 \), no solo importa saber a qué valor tiende, sino también cómo lo hace. En particular, la función puede aproximarse al valor límite manteniéndose por encima o por debajo de él. Esta observación da lugar a las nociones de aproximación al límite por arriba y aproximación al límite por abajo.
Desde un punto de vista intuitivo, basta con observar la gráfica de la función para notar que:
- en una aproximación por arriba, la gráfica se acerca a la recta \( y = l \) tomando valores mayores que \( l \)
- en una aproximación por abajo, la gráfica se acerca a la misma recta tomando valores menores que \( l \)
En ambos casos el valor del límite es el mismo, pero el comportamiento local de la función es distinto.
Nota. La idea central es sencilla: conocer el valor del límite no siempre es suficiente. En muchos contextos resulta esencial saber si la función se aproxima a ese valor desde arriba o desde abajo. Estas aproximaciones no definen nuevos tipos de límites, sino que afinan y enriquecen el concepto de límite finito.
Aproximación al límite por arriba
Decimos que una función \( f(x) \) se aproxima al valor \( l \) por arriba si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to x_0 \) es \( l \)
- en un entorno de \( x_0 \), posiblemente excluyendo el punto \( x_0 \), la función toma únicamente valores mayores que \( l \)
Esta situación se expresa simbólicamente escribiendo:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l^{+} \]
Desde el punto de vista analítico, esta definición equivale a exigir que para todo \( \varepsilon > 0 \) exista un entorno adecuado de \( x_0 \) tal que se cumpla:
\[ l < f(x) < l + \varepsilon \]
Restando $ l $ en todos los términos de la desigualdad, se obtiene:
\[ 0 < f(x) - l < \varepsilon \]
Esto significa que la función se acerca al valor \( l \) sin llegar a alcanzarlo y permaneciendo siempre estrictamente por encima de él.
Por ejemplo, si una función tiene límite \( l = 2 \) y, al aproximarse \( x \) a \( x_0 \), toma valores como 2.1, 2.01, 2.001, ... sin llegar nunca a 2 ni situarse por debajo, entonces la función se aproxima a 2 por arriba.
Ejemplo
Consideremos la función:
\[ f(x) = 3x^2 - 2 \]
Queremos comprobar que:
\[ \lim_{x \to 0} (3x^2 - 2) = -2^{+} \]
Fijamos un número \( \varepsilon > 0 \) e imponemos la condición:
\[ 0 < f(x) - l < \varepsilon \]
Dado que $ f(x) = 3x^2 - 2 $ y $ l = -2 $:
\[ 0 < (3x^2 - 2) - (-2) < \varepsilon \]
\[ 0 < 3x^2 < \varepsilon \]
La desigualdad \( 0 < 3x^2 \) se cumple para todo \( x \neq 0 \), ya que \( x^2 > 0 \).
La condición \( 3x^2 < \varepsilon \) permite despejar la variable x:
\[ x^2 < \frac{\varepsilon}{3} \]
es decir,
\[ -\frac{\sqrt{\varepsilon}}{3} < x < \frac{\sqrt{\varepsilon}}{3} \]
Dentro de este entorno de \( 0 \), excluyendo el punto \( x = 0 \), se cumple:
\[ -2 < f(x) < -2 + \varepsilon \]
Por lo tanto, la función se aproxima a -2 por arriba y la aproximación al límite es por arriba.
Aproximación al límite por abajo
Decimos que una función \( f(x) \) se aproxima al valor \( l \) por abajo si:
- el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to x_0 \) es \( l \)
- en un entorno de \( x_0 \), posiblemente excluyendo el punto \( x_0 \), la función toma únicamente valores menores que \( l \)
De forma simbólica:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l^{-} \]
Analíticamente, esta condición puede escribirse como:
\[ l - \varepsilon < f(x) < l \]
Restando $ l $ en todos los términos de la desigualdad, se obtiene:
\[ - \varepsilon < f(x) - l < 0 \]
En este caso, la función se aproxima a \( l \) manteniéndose estrictamente por debajo de dicho valor.
Por ejemplo, si una función tiene límite \( l = 2 \) y, al aproximarse a \( x_0 \), toma valores como 1.9, 1.99, 1.999, ... sin superar nunca 2, entonces la aproximación al límite es por abajo.
Ejemplo
Consideremos la función:
\[ f(x) = -3x^2 - 2 \]
Queremos comprobar que:
\[ \lim_{x \to 0} (-3x^2 - 2) = -2^{-} \]
Fijamos un número \( \varepsilon > 0 \) e imponemos la condición:
\[ -\varepsilon < f(x) - l < 0 \]
\[ -\varepsilon < (-3x^2 - 2) - (-2) < 0 \]
\[ -\varepsilon < -3x^2 < 0 \]
La desigualdad \( -3x^2 < 0 \) se cumple siempre para \( x \neq 0 \), ya que \( x^2 > 0 \) y el coeficiente es negativo.
La condición \( -\varepsilon < -3x^2 \) permite despejar la variable x:
Dividimos ambos lados de la desigualdad por -3. Al hacerlo, el sentido de la desigualdad se invierte.
\( \frac{-\varepsilon}{-3} > \frac{-3x^2}{-3} \]
\( \frac{\varepsilon}{3} > x^2 \]
es decir,
\[ - \sqrt{ \frac{\varepsilon}{3} } < x < \sqrt{ \frac{\varepsilon}{3} } \]
Dentro de este entorno de \( 0 \), excluyendo el punto \( x = 0 \), se cumple:
\[ -2 - \varepsilon < f(x) < -2 \]
Por lo tanto, la función se aproxima a -2 por abajo y la aproximación al límite es por abajo.
Y así sucesivamente.
