Función discontinua

Se dice que una función $f(x)$ es discontinua en un punto $x_0$ cuando el límite de $f(x)$ al aproximarse $x$ a $x_0$ no coincide con el valor que la función toma en ese punto: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \ne f(x_0) $$ Ese punto $x_0$ recibe el nombre de punto de discontinuidad.

Ejemplo de función discontinua

Discontinuidades eliminables y no eliminables

• Una discontinuidad es eliminable si puede corregirse redefiniendo convenientemente la función para que resulte continua.
• Se denomina no eliminable cuando no existe forma de suprimirla mediante una redefinición local.

¿Por qué aparecen las discontinuidades?

Las discontinuidades pueden producirse por diversas razones, según el comportamiento de la función en torno al punto en cuestión:

Discontinuidad de salto (primera especie)

En el punto x₀, se produce una discontinuidad de salto cuando los límites laterales por la derecha y por la izquierda existen, son finitos, pero no coinciden. $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) \ne \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) $$ Esta diferencia entre los dos límites laterales se denomina salto de la función y mide la “altura” del cambio brusco en ese punto.

La función puede estar definida o no en $x_0$.

Ejemplo

La función signo presenta una discontinuidad en $x_0 = 0$:

$$ \frac{|x|}{x} $$

ya que los límites laterales son diferentes:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 $$

Gráficamente se observa:

En $x_0$ la función pasa bruscamente de $-1$ a $+1$.

Discontinuidad infinita (de segunda especie)

En el punto x₀, se presenta una discontinuidad infinita cuando al menos uno de los límites laterales crece sin límite o no existe. $$ \lim_{x \rightarrow x_0^±} f(x) = \{ ±∞ , \text{no existe} \} $$ En estos casos, la función no se aproxima a un valor finito, sino que diverge o presenta un comportamiento irregular cerca de x₀.

Ejemplo

La función $$ \frac{1}{x} $$ es discontinua en $x_0 = 0$,

porque el límite lateral derecho tiende a infinito:

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} = +\infty $$

Nota. En este caso, el límite lateral izquierdo tiende a menos infinito: $$ \lim_{x \rightarrow 0^-} = -\infty $$ En general, se habla de discontinuidad de segunda especie cuando al menos uno de los límites laterales diverge ($±\infty$) o no está definido.

La gráfica es la siguiente:

Discontinuidad evitable (removible)

En el punto x₀, se tiene una discontinuidad evitable (o removible) cuando el límite de la función f(x) existe y es finito al acercarse $ x \to x_0$, pero no coincide con el valor de la función en ese punto, o bien la función no está definida en x₀. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \ne f(x_0) $$ En este caso, la discontinuidad puede eliminarse redefiniendo adecuadamente el valor de la función en x₀.

Se denomina discontinuidad evitable, ya que puede resolverse redefiniendo el valor de la función en $x_0$ para que coincida con el límite.

Este tipo de discontinuidad aparece con frecuencia en funciones definidas por tramos.

Ejemplo

Consideremos la función:

$$ f(x) = \frac{\sin x}{x} $$

En $x_0 = 0$ la función no está definida, pero el límite sí existe:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Este es un límite muy conocido.

La discontinuidad puede eliminarse definiendo $f(0) = 1$:

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} \: \text{si} \: x \ne 0 \\ 1 \: \text{si} \: x = 0 \end{cases} $$

Con esta redefinición la función se hace continua:

Ejemplo 2

Veamos ahora esta función definida por tramos:

$$ f(x) = \begin{cases} x+2 \: \text{si} \: x \ne 2 \\ 1 \: \text{si} \: x = 2 \end{cases} $$

Esta función presenta una discontinuidad en $x_0 = 2$.

El límite cuando $x$ tiende a 2 existe:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 4 $$

Es decir, los límites laterales son iguales.

Sin embargo, el valor de la función en $x=2$ es:

$$ f(2) = 1 $$

Por lo tanto, aunque el límite en $x_0$ existe, la función adopta un valor distinto.

Para eliminar esta discontinuidad basta redefinir la función así:

$$ f(x) = \begin{cases} x+2 \: \text{si} \: x \ne 2 \\ 4 \: \text{si} \: x = 2 \end{cases} $$

De esta manera la función se vuelve continua:

Y así sucesivamente.