Funciones compuestas

¿Qué es una función compuesta?

Se denomina función compuesta a aquella en la que el dominio de una función coincide con el codominio (o recorrido) de otra. $$ h(x) = f(g(x)) $$ Esto se lee como f de g de x.

La función compuesta también suele representarse como:

$$ h = f \circ g $$

y se lee como f compuesta con g.

En este contexto, el codominio de g pasa a ser el dominio de f.

Observación. El conjunto A representa el dominio de g. El conjunto B corresponde al recorrido de g - que a la vez constituye el codominio de g y el dominio de f - . El conjunto C contiene los valores de salida de f, que son también los de la función compuesta f[g(x)].

Un ejemplo práctico

Consideremos las siguientes dos funciones:

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

$$ g(x) = \sin x $$

La función compuesta h(x), definida como f(g(x)), es:

$$ h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\sin x} $$

En este caso, el dominio de f debe corresponder al recorrido de g, que es el intervalo [0,1].

La gráfica de la función compuesta f(g(x)) se muestra a continuación:

Cómo reconocer una función compuesta

Reconocer una función compuesta es más sencillo de lo que parece. La clave no está en la presencia de paréntesis, sino en comprobar si una función actúa sobre el resultado de otra función.

Dicho de otro modo, si todo el argumento de una función puede considerarse una nueva variable dependiente de \(x\), entonces estamos ante una función compuesta.

Ejemplo

Consideremos la función

$$ y=\ln(x^2+2) $$

Aquí el logaritmo no se aplica directamente a \(x\), sino a la expresión \(x^2+2\).

Para verlo con mayor claridad, podemos descomponer el proceso en dos pasos.

Primero calculamos la expresión interior y la representamos mediante una nueva variable \(z\):

$$ z=x^2+2 $$

Después aplicamos el logaritmo al resultado obtenido:

$$ y=\ln z $$

De este modo, la función puede escribirse como la composición de dos funciones, donde \( g(x)=x^2+2 \) y \( f(z)=\ln z \).

$$ y=\ln(x^2+2)=f(g(x)) $$

La función es compuesta porque el resultado final se obtiene aplicando una función al valor generado previamente por otra.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la función

$$ y=x^2+3x $$

En este caso no hay ninguna función actuando sobre el resultado de otra.

Los términos \(x^2\) y \(3x\) simplemente se suman para formar la expresión.

Por esta razón, la función no es una función compuesta.

Ejemplo 3

Consideremos la función

$$ y=\sin(3x+1) $$

Primero calculamos la expresión interior:

$$ z=3x+1 $$

Después aplicamos la función seno al resultado:

$$ y=\sin z $$

También en este caso estamos ante una función compuesta, ya que el seno actúa sobre el valor producido por la expresión \(3x+1\).

Como regla general, siempre que una función se aplique al resultado de otra función, la función obtenida será una función compuesta.

Propiedades de las funciones compuestas

Las propiedades más relevantes de las funciones compuestas son:

• No son conmutativas. En general: $$ g[f(x)] \ne f[g(x)] $$

  Ejemplo. Consideremos dos funciones: $$ f(x) = x+1 $$ $$ g(x) = 2x+3 $$ La función compuesta g[f(x)] resulta: $$ g(f(x)) = g(x+1) = 2(x+1) + 3 = 2x + 5 $$ En cambio, la función compuesta f[g(x)] es: $$ f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3) + 1 = 2x + 4 $$ Se trata claramente de dos funciones distintas.

• Sí cumplen la propiedad asociativa: $$ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $$

  Ejemplo. Consideremos tres funciones: $$ f(x) = x+1 $$ $$ g(x) = 2x+3 $$ $$ h(x) = -x $$ La función compuesta h o (g o f) es: $$ h \circ (g \circ f) = h \circ [2(x+1) + 3] = h \circ [2x + 5] = -[2x + 5] = -2x - 5 $$ Por su parte, la función compuesta (h o g) o f resulta: $$ (h \circ g) \circ f = -(2x + 3) \circ f = -2x - 3 \circ f = -2(x + 1) - 3 = -2x - 5 $$ En ambos casos se obtiene el mismo resultado.

• Si el recorrido de f[g(x)] coincide con el dominio de g(x) - es decir, si A = C -
  

  

  
  entonces es posible definir también la función compuesta g[f(x)]. No obstante, en general: $$ f[g(x)] \ne g[f(x)] $$ ya que la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa.
• La composición de una función f:A→B con su función inversa f^-1:B→A devuelve cada elemento de entrada x a sí mismo: $$ f^{-1}[f(x)] = x $$ Esta composición particular recibe el nombre de función identidad.
  

Y así sucesivamente.