Máximos y mínimos de una función

Los máximos y mínimos de una función son los puntos de un intervalo $ x \in [a, b] $ en los que la función $ y = f(x) $ alcanza, respectivamente, su valor más alto y su valor más bajo.

Estos extremos pueden clasificarse en absolutos o relativos:

• Máximo o mínimo absoluto: Punto en el que $ f(x) $ alcanza su valor mayor o menor en todo el intervalo $ [a, b] $.
• Máximo o mínimo relativo (local): Punto en el que $ f(x) $ alcanza un valor mayor o menor únicamente respecto a los puntos de un entorno de $ x_0 $.

Ejemplo

En $ x_1 $, la función $ f(x) $ alcanza un máximo absoluto en $ [a, b] $, y en $ x_2 $ alcanza un mínimo absoluto.

En cambio, en $ x_3 $ y $ x_4 $, la función presenta únicamente un máximo y un mínimo relativos, respectivamente.

Nota: Un máximo (o mínimo) absoluto en $ [a, b] $ es, por definición, también un máximo (o mínimo) relativo en cualquier entorno de ese punto. Así, $ x_1 $ es simultáneamente un máximo absoluto y relativo, mientras que $ x_2 $ es a la vez un mínimo absoluto y relativo.

Máximos y mínimos absolutos

Máximo absoluto

Sea \( y=f(x) \) una función definida en un intervalo \( I \). El valor \( M=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), se denomina máximo absoluto de la función en \( I \) si se cumple que \[ f(x_0) \ge f(x) \qquad \forall x \in I \]

En otras palabras, \( f(x_0) \) es el mayor valor que alcanza la función en todo el intervalo \( I \).

Si la función tiene un máximo absoluto, este queda representado en su gráfica por el punto \( (x_0,M) \), donde \( M=f(x_0) \).

Mínimo absoluto

Sea \( y=f(x) \) una función definida en un intervalo \( I \). El valor \( m=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), se denomina mínimo absoluto de la función en \( I \) si se cumple que \[ f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in I \]

De forma análoga, \( f(x_0) \) es el menor valor que toma la función en todo el intervalo \( I \).

Si la función tiene un mínimo absoluto, este queda representado en su gráfica por el punto \( (x_0,m) \), donde \( m=f(x_0) \).

Nota. La existencia de máximos o mínimos absolutos depende tanto de la propia función como del dominio en el que se estudia.

Ejemplo

Consideremos la función

\[ y=x^2+1 \]

En todo su dominio, \( I=\mathbb{R} \), la función tiene un mínimo absoluto en \( x=0 \), ya que

\[ f(0)=1 \]

En cambio, no tiene un máximo absoluto. A medida que aumenta el valor absoluto de \( x \), la función crece indefinidamente.

Ahora restringimos el dominio al intervalo cerrado \( I=[1,3] \). En este caso, la función sí tiene un mínimo absoluto y un máximo absoluto.

Como la función es creciente para todo \( x \ge 0 \), el menor valor se alcanza en el extremo izquierdo del intervalo y el mayor valor en el extremo derecho:

\[ f(1)=2 \qquad \text{(mínimo absoluto)} \] \[ f(3)=10 \qquad \text{(máximo absoluto)} \]

Por lo tanto, en el intervalo \( [1,3] \), el mínimo absoluto es \(2\) y el máximo absoluto es \(10\).

Máximos y mínimos relativos

Sea $$ x_0 $$ un punto del dominio y consideremos todos los puntos de un entorno de radio $ \delta $ alrededor de $ x_0 $:

$$ |x - x_0| < \delta $$

Si $ f(x_0) $ es mayor que los valores de $ f(x) $ en dicho entorno, entonces $ x_0 $ es un máximo relativo:

$$ f(x_0) > f(x) $$

Por ejemplo:

De manera análoga, si $ f(x_0) $ es menor que todos los valores de $ f(x) $ en ese entorno, entonces $ x_0 $ es un mínimo relativo:

$$ f(x_0) < f(x) $$

Por ejemplo:

Nota: En el caso de los extremos relativos, la desigualdad (mayor o menor) solo se cumple dentro de un entorno de $ x_0 $, y no necesariamente en todo el intervalo $ [a, b] $ donde está definida la función.

Cómo hallar máximos y mínimos relativos con derivadas

Las derivadas no solo permiten estudiar cómo cambia una función, sino también localizar sus posibles máximos y mínimos relativos. Si una función es derivable y presenta uno de estos extremos en un punto interior de su dominio, el primer lugar donde debemos buscar es entre los puntos estacionarios, es decir, aquellos en los que la primera derivada se anula.

$$ f'(x)=0 $$

Esta condición es fundamental, pero conviene interpretarla correctamente: encontrar los puntos donde la derivada vale cero no significa haber encontrado automáticamente los máximos y mínimos. Es solo el comienzo del análisis.

Teorema de Fermat sobre los extremos relativos

Sea \(f(x)\) una función definida en el intervalo \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a,b)\). Si \(f\) presenta un máximo relativo o un mínimo relativo en un punto interior \(x_0\), entonces $$ f'(x_0)=0 $$

En otras palabras, si \(f\) alcanza un máximo o un mínimo relativo en \(x_0\) y es derivable en ese punto, entonces \(x_0\) debe ser un punto estacionario.

Para aplicar este resultado deben cumplirse dos condiciones fundamentales: \(x_0\) ha de ser un punto interior del intervalo y la función debe ser derivable en ese punto.

Nota. El teorema de Fermat establece una condición necesaria, pero no suficiente. Esto significa que no todo punto estacionario corresponde a un máximo o un mínimo relativo. Por ejemplo, un punto estacionario puede ser un punto de inflexión con tangente horizontal. A la inversa, un máximo o un mínimo no tiene por qué alcanzarse en un punto estacionario. También puede darse en un punto donde la función no sea derivable o en uno de los extremos del intervalo de definición. Por tanto, la condición $f'(x_0)=0$ solo es necesaria cuando el máximo o mínimo relativo se alcanza en un punto interior y la función es derivable en dicho punto.

Un primer ejemplo

Consideremos la función

$$ f(x)=x^2 $$

Esta función es derivable para todo número real. Su primera derivada es

$$ f'(x)=2x $$

Para hallar los puntos estacionarios, igualamos la primera derivada a cero:

$$ 2x = 0 $$

De esta ecuación obtenemos

$$ x=0 $$

Por tanto, \(x=0\) es un punto estacionario.

Ahora debemos observar cómo se comporta la función alrededor de ese punto. La función \(f(x)=x^2\) decrece al aproximarse a cero por la izquierda y crece a partir de cero. Por tanto, \(f\) presenta un mínimo relativo en \(x=0\).

Demostración del teorema de Fermat

Veamos por qué se cumple este resultado. Supongamos que \(f\) presenta un máximo relativo en \(x_0\).

Por definición, en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\), los valores de la función no pueden ser mayores que \(f(x_0)\). Por tanto, para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),

$$ f(x)\leq f(x_0) $$

Podemos expresar un punto próximo a \(x_0\) como

$$ x=x_0+h $$

de modo que

$$ f(x_0+h)\leq f(x_0) $$

y, por tanto,

$$ f(x_0+h)-f(x_0)\leq 0 $$

Ahora debemos analizar por separado lo que ocurre a la derecha y a la izquierda de \(x_0\).

1] A la derecha del punto de máximo

Si \(h>0\), al dividir por \(h\) se conserva el sentido de la desigualdad:

$$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 $$

Al tomar el límite cuando \(h\to 0^+\), obtenemos

$$ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 $$

Por tanto, la derivada lateral por la derecha es menor o igual que cero.

2] A la izquierda del punto de máximo

Si \(h<0\), al dividir por un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad:

$$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 $$

Al tomar el límite cuando \(h\to 0^-\), obtenemos

$$ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 $$

Por tanto, la derivada lateral por la izquierda es mayor o igual que cero.

3] Conclusión

Como \(f\) es derivable en \(x_0\), las derivadas laterales por la derecha y por la izquierda existen y coinciden. Por consiguiente, deben cumplirse simultáneamente

$$ f'(x_0)\leq 0 $$

y

$$ f'(x_0)\geq 0 $$

El único valor que satisface ambas desigualdades es cero:

$$ f'(x_0)=0 $$

El mismo razonamiento puede aplicarse cuando \(f\) presenta un mínimo relativo en \(x_0\).

Una condición necesaria, pero no suficiente

Aquí aparece una distinción esencial. La condición

$$ f'(x_0)=0 $$

es necesaria bajo las hipótesis del teorema de Fermat, pero no es suficiente para afirmar que \(f\) presenta un máximo o un mínimo relativo en \(x_0\).

En términos prácticos:

• si \(f\) presenta un máximo o un mínimo relativo en un punto interior y es derivable en él, la derivada debe anularse en ese punto;
• si la derivada se anula en un punto, la función no presenta necesariamente un máximo o un mínimo en él.

Un punto estacionario que no es un extremo

Para verlo con claridad, consideremos la función

$$ f(x)=x^3 $$

Su primera derivada es

$$ f'(x)=3x^2 $$

Para hallar los puntos estacionarios, igualamos la derivada a cero:

$$ 3x^2=0 $$

de donde obtenemos

$$ x=0 $$

Por tanto, \(x=0\) es un punto estacionario.

Sin embargo, la primera derivada \(3x^2\) es positiva tanto para \(x<0\) como para \(x>0\), excepto en \(x=0\):

$$ 3x^2>0 $$

Esto significa que la función \(f(x)=x^3\) es estrictamente creciente tanto a la izquierda como a la derecha de \(x=0\).

En consecuencia, \(f\) no presenta ni un máximo relativo ni un mínimo relativo en \(x=0\).

El punto es estacionario porque la derivada se anula en él, pero la función sigue siendo creciente al atravesarlo.

Este ejemplo muestra con claridad por qué la condición $f'(x_0)=0$ no basta, por sí sola, para identificar un extremo relativo.

Criterio de la primera derivada

¿Cómo podemos saber entonces si un punto estacionario es realmente un máximo o un mínimo? Uno de los métodos más útiles consiste en estudiar el signo de la primera derivada a ambos lados del punto. Este procedimiento se conoce como criterio de la primera derivada.

Si la derivada cambia de signo positivo a negativo,

$$ f'(x)>0 \quad\longrightarrow\quad f'(x)<0 $$

la función es creciente antes del punto y decreciente después. En consecuencia, la función presenta un máximo relativo en ese punto.

Si la derivada cambia de signo negativo a positivo,

$$ f'(x)<0 \quad\longrightarrow\quad f'(x)>0 $$

la función es decreciente antes del punto y creciente después. En consecuencia, la función presenta un mínimo relativo en ese punto.

Si la derivada conserva el mismo signo a ambos lados del punto estacionario, la función no presenta allí ningún extremo relativo.

Consideremos de nuevo la función \(f(x)=x^3\). Su primera derivada es \(f'(x)=3x^2\). La derivada es positiva a ambos lados de \(x=0\). $$ f'(x)>0 \qquad x<0 $$ $$ f'(x)>0 \qquad x>0 $$ Como no se produce ningún cambio de signo, la función es creciente en todo un entorno de \(x=0\). Por tanto, \(f\) no presenta ni un mínimo local ni un máximo local en \(x=0\).

¿Qué ocurre en los extremos del intervalo?

Hasta ahora hemos hablado de puntos interiores, pero los extremos de un intervalo también deben tenerse en cuenta. El teorema de Fermat solo se aplica a los puntos interiores. Por eso, una función puede alcanzar un máximo o un mínimo en uno de los extremos del intervalo aunque la derivada no se anule allí.

Consideremos, por ejemplo, la función

$$ f(x)=2x-1 $$

en el intervalo

$$ [1,3] $$

Su derivada es

$$ f'(x)=2 $$

Como \(f'(x)>0\) para todo \(x\), la función es estrictamente creciente en todo el intervalo. La derivada no se anula en ningún punto.

En el extremo izquierdo,

$$ f(1)=1 $$

mientras que en el extremo derecho,

$$ f(3)=5 $$

Por tanto, \(f(1)=1\) es el valor mínimo de la función en \([1,3]\), mientras que \(f(3)=5\) es su valor máximo.

Así pues, \(x=1\) y \(x=3\) son, respectivamente, los puntos en los que la función alcanza su mínimo absoluto y su máximo absoluto en el intervalo \([1,3]\), aunque

$$ f'(1)=f'(3)=2\neq 0 $$

Esto no contradice el teorema de Fermat, ya que \(1\) y \(3\) son extremos del intervalo y no puntos interiores.

¿Qué ocurre si la función no es derivable?

También puede darse un máximo o un mínimo relativo en un punto donde la derivada no exista. Por eso, al estudiar los extremos de una función, no debemos limitarnos a resolver la ecuación \(f'(x)=0\).

Un ejemplo clásico es la función valor absoluto:

$$ f(x)=|x| $$

Esta función presenta tanto un mínimo relativo como un mínimo absoluto en \(x=0\), ya que

$$ |x|\geq 0 $$

para todo \(x\).

Sin embargo, la gráfica presenta un punto anguloso en \(x=0\), por lo que la función no es derivable en ese punto.

En efecto, las derivadas laterales en \(x=0\) son distintas:

$$ f'_-(0)=-1 \qquad f'_+(0)=1 $$

Por tanto, al buscar máximos y mínimos también debemos tener en cuenta los puntos del dominio en los que la función no es derivable.

¿Cómo localizar los posibles máximos y mínimos?

Podemos resumir el procedimiento de forma sencilla. Supongamos que \(f(x)\) está definida en un intervalo \([a,b]\). Para localizar los posibles puntos de máximo y mínimo, debemos considerar principalmente tres tipos de puntos:

1. Puntos estacionarios, en los que

   $$ f'(x)=0 $$

2. Los extremos del intervalo

   $$ x=a \qquad\text{y}\qquad x=b $$

3. Puntos del dominio en los que la función no es derivable.

Todos ellos son candidatos a ser puntos de máximo o de mínimo. Sin embargo, identificarlos no basta para completar el análisis.

Una vez localizados los candidatos, debemos estudiar cómo se comporta la función alrededor de cada uno. Uno de los métodos más eficaces consiste en analizar el signo de la primera derivada y comprobar si la función pasa de creciente a decreciente, de decreciente a creciente o si mantiene el mismo comportamiento monótono.

En resumen, resolver $ f'(x)=0 $ no proporciona automáticamente los máximos y mínimos de una función. Lo que obtenemos son los puntos estacionarios, que constituyen solo una parte de los puntos que debemos analizar. Después hay que estudiar el comportamiento de la función alrededor de cada candidato para determinar si pasa de creciente a decreciente, de decreciente a creciente o si continúa variando en el mismo sentido.

Criterio de la primera derivada

El criterio de la primera derivada es una herramienta sencilla y muy útil para localizar los extremos de una función. La idea consiste en observar si la función crece o decrece antes y después del punto que estamos estudiando.

Veamos con más detalle los tres casos posibles.

• Máximo local
  Si \(  f'(x)>0 \) para \( x<x_0 \) y \( f'(x)<0 \) para \( x>x_0 \), en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\), entonces \(f\) presenta un máximo local en \(x_0\). A la izquierda de \(x_0\), la derivada es positiva, por lo que la función es creciente. A la derecha, la derivada es negativa y la función pasa a ser decreciente. En otras palabras, la función crece hasta llegar a \(x_0\) y después decrece. Por tanto, \(f(x_0)\) es un máximo local de la función.
  
• Mínimo local
  Si \( f'(x)<0 \) para \(x<x_0 \) y \( f'(x)>0 \) para \( x>x_0 \), en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\), entonces \(f\) presenta un mínimo local en \(x_0\). A la izquierda de \(x_0\), la derivada es negativa, por lo que la función es decreciente. A la derecha, la derivada es positiva y la función pasa a ser creciente. En otras palabras, la función decrece hasta llegar a \(x_0\) y después crece. Por tanto, \(f(x_0)\) es un mínimo local de la función.
  
• Ni mínimo local ni máximo local
  Si la derivada mantiene el mismo signo a ambos lados de \(x_0\), entonces \(f\) no presenta ni un máximo local ni un mínimo local en ese punto. Por ejemplo, si \( f'(x)>0 \) tanto a la izquierda como a la derecha de \(x_0\), la función sigue siendo creciente al atravesarlo. Del mismo modo, si \(f'(x)<0\) a ambos lados, la función sigue siendo decreciente. En algunos casos, \(x_0\) puede ser un punto de inflexión, pero el criterio de la primera derivada, por sí solo, no permite determinar si realmente lo es. 
  

Es importante tener en cuenta que la condición \(f'(x_0)=0\) no basta para afirmar que existe un máximo o un mínimo local. Cuando la derivada existe, esta igualdad indica que \(x_0\) es un punto estacionario, pero para saber qué ocurre realmente hay que estudiar el comportamiento de la derivada alrededor de ese punto. En el criterio de la primera derivada, lo fundamental es observar cómo cambia el signo de \(f'(x)\) al atravesar \(x_0\).

Ejemplo

Consideremos la función

\[ f(x)=x^2 \]

Su derivada es

\[ f'(x)=2x \]

Para \(x<0\),

\[ f'(x)<0 \]

mientras que para \(x>0\),

\[ f'(x)>0 \]

Al atravesar \(x_0=0\), la derivada cambia de signo negativo a positivo. Esto nos indica que la función decrece antes de \(x=0\) y crece después de \(x=0\).

Por tanto, \(f\) presenta un mínimo local en \(x_0=0\). En este caso particular, \(f(0)=0\) es además el mínimo absoluto de la función.

Nota. El criterio de la primera derivada proporciona una condición suficiente, pero no necesaria para identificar un máximo local o un mínimo local cuando se formula mediante un cambio estricto de signo de \(f'(x)\). También pueden existir extremos locales sin que se produzca este cambio. Por ejemplo, si una función es constante en un intervalo, entonces \(f'(x)=0\) en todo ese intervalo. Según las definiciones no estrictas habituales de máximo y mínimo local, cada punto interior del intervalo es, al mismo tiempo, un máximo local y un mínimo local. Sin embargo, la versión del criterio basada en un cambio estricto de signo no permite identificar estos extremos, ya que la derivada no pasa de positiva a negativa ni de negativa a positiva alrededor de esos puntos.

Criterio de la segunda derivada

El criterio de la segunda derivada me permite identificar máximos y mínimos relativos en los puntos estacionarios de una función. Para aplicarlo, solo necesito calcular la segunda derivada y comprobar su signo en el punto que quiero estudiar.

Sin embargo, este criterio establece condiciones suficientes, pero no necesarias, para la existencia de extremos relativos.

Esto significa que una función puede tener un máximo o un mínimo relativo aunque la segunda derivada sea cero en ese punto. Cuando ocurre esto, puedo recurrir al criterio de la primera derivada o al criterio de las derivadas sucesivas.

Ejemplo

Considero la función

\[f(x)=x^2-4x+3\]

Primero calculo la primera derivada.

\[f'(x)=2x-4\]

Para encontrar los puntos estacionarios, igualo la primera derivada a cero.

\[2x-4=0\]

Despejo \(x\) y obtengo

\[x=2\]

Ahora calculo la segunda derivada.

\[f''(x)=2\]

En el punto estacionario \(x=2\), la segunda derivada es positiva.

\[f''(2)=2>0\]

Por tanto, según el criterio de la segunda derivada, la función tiene un mínimo relativo en \(x=2\).

Para conocer las coordenadas del mínimo, calculo el valor de la función en ese punto.

\[f(2)=2^2-4(2)+3=-1\]

El mínimo relativo se encuentra en el punto \((2,-1)\) de la gráfica. Además, como la parábola abre hacia arriba, este punto también es un mínimo absoluto.

Criterio de las derivadas sucesivas

Este criterio es especialmente útil cuando la primera y la segunda derivada se anulan en un punto estacionario. En ese caso, el criterio de la segunda derivada no permite saber si existe un máximo o un mínimo relativo, por lo que necesito calcular derivadas de orden superior.

Ejemplo

Considero la función

\[ f(x)=x^6 \]

Primero calculo la primera derivada.

\[ f'(x)=6x^5 \]

La primera derivada se anula en \(x_0=0\), por lo que este es un punto estacionario.

A continuación, calculo las derivadas de orden superior.

\[ \begin{aligned} f''(x)&=30x^4\\ f'''(x)&=120x^3\\ f^{(4)}(x)&=360x^2\\ f^{(5)}(x)&=720x\\ f^{(6)}(x)&=720 \end{aligned} \]

Al evaluar las derivadas en \(x_0=0\), observo que las cinco primeras se anulan.

\[ f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(5)}(0)=0 \]

Sin embargo, la sexta derivada es positiva y distinta de cero.

\[ f^{(6)}(0)=720>0 \]

Como la primera derivada no nula es de orden par y positiva, puedo concluir que la función tiene un mínimo relativo en \(x_0=0\).

En este ejemplo, el criterio de la segunda derivada no es concluyente porque \(f''(0)=0\). Por eso, continúo derivando hasta encontrar la primera derivada no nula, que es la sexta. Como su orden es par y su valor es positivo, puedo confirmar que el punto estacionario es un mínimo relativo.

Además, como \(x^6\geq 0\) para cualquier número real \(x\), este punto también es un mínimo absoluto.

Notas

Uno de los resultados más importantes relacionados con los máximos y mínimos absolutos es el siguiente teorema.

• Teorema de Weierstrass
  Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \( [a,b] \), entonces necesariamente alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo. \[ \exists \, x_M, x_m \in [a,b] \; \text{tales que} \; f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] \] En otras palabras, existen dos puntos del intervalo donde la función alcanza, respectivamente, su menor y su mayor valor.

Y así sucesivamente.