Máximos y mínimos de una función

Los máximos y mínimos de una función son los puntos de un intervalo $ x \in [a, b] $ en los que la función $ y = f(x) $ alcanza, respectivamente, su valor más alto y su valor más bajo.

Estos extremos pueden clasificarse en absolutos o relativos:

Máximo o mínimo absoluto: Punto en el que $ f(x) $ alcanza su valor mayor o menor en todo el intervalo $ [a, b] $.
Máximo o mínimo relativo (local): Punto en el que $ f(x) $ alcanza un valor mayor o menor únicamente respecto a los puntos de un entorno de $ x_0 $.

Ejemplo

ejemplo de máximo y mínimo absoluto y relativo

En $ x_1 $, la función $ f(x) $ alcanza un máximo absoluto en $ [a, b] $, y en $ x_2 $ alcanza un mínimo absoluto.

En cambio, en $ x_3 $ y $ x_4 $, la función presenta únicamente un máximo y un mínimo relativos, respectivamente.

Nota: Un máximo (o mínimo) absoluto en $ [a, b] $ es, por definición, también un máximo (o mínimo) relativo en cualquier entorno de ese punto. Así, $ x_1 $ es simultáneamente un máximo absoluto y relativo, mientras que $ x_2 $ es a la vez un mínimo absoluto y relativo.

Máximos y mínimos absolutos
Máximos y mínimos relativos
Notas

Máximos y mínimos absolutos

Máximo absoluto

Sea $ y=f(x) $ una función definida en un intervalo $ I $. El valor $ M=f(x_0) $, con $ x_0 \in I $, se denomina máximo absoluto de la función en $ I $ si se cumple que \[ f(x_0) \ge f(x) \qquad \forall x \in I \]

En otras palabras, $ f(x_0) $ es el mayor valor que alcanza la función en todo el intervalo $ I $.

Si la función tiene un máximo absoluto, este queda representado en su gráfica por el punto $ (x_0,M) $, donde $ M=f(x_0) $.

Mínimo absoluto

Sea $ y=f(x) $ una función definida en un intervalo $ I $. El valor $ m=f(x_0) $, con $ x_0 \in I $, se denomina mínimo absoluto de la función en $ I $ si se cumple que \[ f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in I \]

De forma análoga, $ f(x_0) $ es el menor valor que toma la función en todo el intervalo $ I $.

Si la función tiene un mínimo absoluto, este queda representado en su gráfica por el punto $ (x_0,m) $, donde $ m=f(x_0) $.

Nota. La existencia de máximos o mínimos absolutos depende tanto de la propia función como del dominio en el que se estudia.

Ejemplo

Consideremos la función

\[ y=x^2+1 \]

En todo su dominio, $ I=\mathbb{R} $, la función tiene un mínimo absoluto en $ x=0 $, ya que

\[ f(0)=1 \]

En cambio, no tiene un máximo absoluto. A medida que aumenta el valor absoluto de $ x $, la función crece indefinidamente.

Ejemplo de una función con mínimo absoluto y sin máximo absoluto

Ahora restringimos el dominio al intervalo cerrado $ I=[1,3] $. En este caso, la función sí tiene un mínimo absoluto y un máximo absoluto.

Como la función es creciente para todo $ x \ge 0 $, el menor valor se alcanza en el extremo izquierdo del intervalo y el mayor valor en el extremo derecho:

\[ f(1)=2 \qquad \text{(mínimo absoluto)} \] \[ f(3)=10 \qquad \text{(máximo absoluto)} \]

Por lo tanto, en el intervalo $ [1,3] $, el mínimo absoluto es $2$ y el máximo absoluto es $10$.

Ejemplo de mínimo absoluto y máximo absoluto en un intervalo cerrado

Máximos y mínimos relativos

Sea $$ x_0 $$ un punto del dominio y consideremos todos los puntos de un entorno de radio $ \delta $ alrededor de $ x_0 $:

$$ |x - x_0| < \delta $$

Si $ f(x_0) $ es mayor que los valores de $ f(x) $ en dicho entorno, entonces $ x_0 $ es un máximo relativo:

$$ f(x_0) > f(x) $$

Por ejemplo:

ejemplo de máximo relativo

De manera análoga, si $ f(x_0) $ es menor que todos los valores de $ f(x) $ en ese entorno, entonces $ x_0 $ es un mínimo relativo:

$$ f(x_0) < f(x) $$

Por ejemplo:

ejemplo de mínimo relativo

Nota: En el caso de los extremos relativos, la desigualdad (mayor o menor) solo se cumple dentro de un entorno de $ x_0 $, y no necesariamente en todo el intervalo $ [a, b] $ donde está definida la función.

Notas

Uno de los resultados más importantes relacionados con los máximos y mínimos absolutos es el siguiente teorema.

Teorema de Weierstrass
Si una función $ f(x) $ es continua en un intervalo cerrado y acotado $ [a,b] $, entonces necesariamente alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo. \[ \exists \, x_M, x_m \in [a,b] \; \text{tales que} \; f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] \] En otras palabras, existen dos puntos del intervalo donde la función alcanza, respectivamente, su menor y su mayor valor.

Y así sucesivamente.