Simetrías en las gráficas de funciones
En el estudio de las funciones, hablar de simetría significa analizar transformaciones geométricas que conservan la forma del gráfico. Estas transformaciones pueden afectar a toda la gráfica o solo a una parte bien definida de ella.
Las simetrías más importantes se describen con respecto a los ejes cartesianos y al origen, y permiten comprender rápidamente la estructura y el comportamiento de una función.
Además, la presencia de valores absolutos introduce transformaciones sistemáticas que modifican el aspecto del gráfico de manera predecible.
Simetría respecto del eje x
Una función presenta simetría respecto del eje x cuando se cumple la relación:
\[ y = -f(x) \]
Esta transformación refleja la gráfica de f(x) respecto del eje x, invirtiendo el signo de todas las ordenadas.
En términos geométricos, a cada punto del gráfico original le corresponde un punto situado a la misma distancia del eje x, pero en el semiplano opuesto.
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = \sqrt{x} $$
La función simétrica respecto del eje x se obtiene cambiando el signo de f(x):
\[ g(x) = -f(x) \]
Sustituyendo la expresión explícita, resulta
$$ g(x) = -f(x) = -\sqrt{x} $$
El dominio no cambia, es decir \( x \ge 0 \), mientras que la gráfica de \( g(x) \) es la imagen especular de la gráfica de \( y = \sqrt{x} \) respecto del eje x.
Simetría respecto del eje y
Una función es simétrica respecto del eje y si satisface la condición:
$$ y = f(-x) $$
En este caso, el gráfico se refleja respecto del eje y. Cada punto con abscisa x tiene un punto correspondiente con abscisa opuesta -x.
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = x^3 $$
Para obtener la función simétrica respecto del eje y, se sustituye \( x \) por \( -x \):
\[ g(x) = f(-x) \]
Al desarrollar la expresión, se obtiene
$$ g(x) = f(-x) = (-x)^3 = -x^3 $$
La gráfica de \( g(x) \) es, por tanto, la reflexión de la gráfica de \( y = x^3 \) respecto del eje y.
Simetría central respecto del origen
Una función es simétrica respecto del origen (O) si se cumple la relación:
$$ y = -f(-x) $$
Geométricamente, esta transformación equivale a reflejar la gráfica primero respecto del eje y y luego respecto del eje x.
Se habla de simetría central porque cada punto \( (x, f(x)) \) se transforma en el punto opuesto \( (-x, -f(x)) \) con respecto al origen.
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = x^2 $$
Aplicando la transformación
\[ g(x) = -f(-x) \]
y sustituyendo la expresión de f(x), se obtiene
$$ g(x) = -f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 $$
La gráfica de \( g(x) \) es la imagen de la gráfica de \( y = x^2 \) mediante una simetría central respecto del origen.
La gráfica del valor absoluto de una función
La función \( y = |f(x)| \) se define por tramos y presenta un comportamiento característico:
- cuando \( f(x) \ge 0 \), la gráfica coincide con la de f(x);
- cuando \( f(x) < 0 \), la parte negativa se refleja respecto del eje x.
Ejemplo
Si \( f(x) = x \), entonces
\[ |f(x)| = |x| \]
Para eliminar el valor absoluto, se distinguen los casos:
\[
|f(x)| = |x| =
\begin{cases}
x & \text{si } x \ge 0 \\ \\
-x & \text{si } x < 0
\end{cases}
\]
La gráfica coincide con la recta \( y = x \) para \( x \ge 0 \) y con la recta \( y = -x \) para \( x < 0 \).
El resultado global es una curva con forma de V, simétrica respecto del eje y.
La gráfica de una función con valor absoluto en el argumento
La función \( y = f(|x|) \) se construye a partir de la gráfica de f(x) definida para \( x \ge 0 \), que luego se refleja respecto del eje y.
- Para \( x > 0 \), la gráfica coincide con la de f(x).
- Para \( x < 0 \), se obtiene reflejando respecto del eje y la parte correspondiente a \( x > 0 \).
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = ( |x| )^3 $$
Para eliminar el valor absoluto, distinguimos nuevamente dos casos:
\[
f(|x|) =
\begin{cases}
x^3 & \text{si } x \ge 0 \\ \\
(-x)^3 = -x^3 & \text{si } x < 0
\end{cases}
\]
Así, para \( x \ge 0 \) la gráfica coincide con la de \( y = x^3 \), mientras que para \( x < 0 \) es su imagen especular respecto del eje y.
Y así sucesivamente.
