Límites divergentes a infinito
Se dice que una función \( f(x) \) diverge a infinito cuando \( x \to \alpha \) si sus valores crecen sin cota superior o decrecen sin cota inferior al aproximarse \( x \) a \( \alpha \). \[ \lim_{x \to \alpha} f(x) = \pm \infty \]
En términos más intuitivos, esto significa que la función toma valores cada vez mayores en magnitud, positivos o negativos, sin límite, cuando \( x \) se acerca a \( \alpha \).
Un ejemplo claro
Consideremos la función
\[ f(x) = \frac{1}{x - 1} \]
Cuando \( x \to 1 \), el denominador se aproxima a cero, y esto provoca un crecimiento sin límite de la función.
- Si \( x \to 1^+ \) (por la derecha), el denominador \( x-1 > 0 \) es muy pequeño pero positivo. En consecuencia, la función crece sin límite y \( f(x) \to +\infty \). $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = + \infty $$
- Si \( x \to 1^- \) (por la izquierda), el denominador \( x-1 < 0 \) es muy pequeño pero negativo. En este caso, la función decrece sin límite y \( f(x) \to -\infty \). $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = - \infty $$
Por tanto, la función diverge en \( x = 1 \).
Sin embargo, no existe un límite en \( x = 1 \), ya que los límites laterales son distintos.
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} \ne \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} $$
Este comportamiento se visualiza claramente en la gráfica, donde aparece una asíntota vertical en \( x = 1 \).
Ejemplo 2
Una función también puede divergir a infinito cuando la variable independiente crece sin límite.
Por ejemplo, consideremos la función
\[ f(x) = x^2 \]
Cuando \( x \to +\infty \), los valores de la función aumentan sin límite:
$$ \lim_{x \to \infty} x^2 = + \infty $$
Lo mismo ocurre cuando \( x \to -\infty \), ya que el cuadrado de un número negativo también es positivo:
$$ \lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty $$
En ambos casos, la función crece sin límite y tiende a infinito positivo.
Divergencia simultánea a infinito
Si dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) divergen a infinito cuando \( x \to \alpha \), se dice que presentan divergencia simultánea a infinito.
En este caso, es útil comparar la rapidez con la que crecen para entender su comportamiento relativo.
- Mismo orden de infinito
Si el cociente entre ambas funciones tiende a una constante finita distinta de cero, entonces crecen al mismo ritmo. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0 $$ - Orden de infinito superior
Si el cociente tiende a infinito, la función del numerador crece más rápido. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infty $$ - Orden de infinito inferior
Si el cociente tiende a cero, la función del numerador crece más lentamente. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$
Si el límite del cociente no existe cuando \( x \to \alpha \), no es posible establecer una comparación en términos de orden de infinito.
Ejemplo
Consideremos las funciones
$$ f(x)=x^3 $$
$$ g(x)=x^2 $$
Cuando \( x \to +\infty \), ambas funciones divergen a infinito:
$$ \lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty $$
$$ \lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty $$
Por tanto, presentan divergencia simultánea a infinito.
Sin embargo, \( x^3 \) crece más rápido que \( x^2 \). Esto se ve claramente al analizar el cociente:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = + \infty $$
De aquí se deduce que \( x^3 \) es de orden superior y \( x^2 \) de orden inferior.
Este tipo de análisis permite entender cómo se comportan las funciones cuando crecen sin límite.
Orden de infinitud
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) dos funciones que divergen cuando \( x \to a \). Se dice que \( f(x) \) es un infinito de orden \( \gamma \) respecto de \( g(x) \) si \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = l \neq 0. \] En tal caso, \( f(x) \) y \( [g(x)]^\gamma \) son infinitos del mismo orden.
El objetivo es claro: comparar cómo de rápido tienden a infinito dos funciones.
Para hacerlo, se toma una función de referencia \( g(x) \) y se compara \( f(x) \) con una potencia de ella. Si el cociente entre ambas converge a un valor finito distinto de cero, entonces las dos funciones crecen al mismo ritmo, salvo por un factor constante.
El exponente \( \gamma \) indica exactamente cuánto más rápido diverge \( f(x) \) en comparación con \( g(x) \). De este modo, no solo sabemos que una función tiende a infinito, sino también con qué intensidad lo hace respecto a otra.
Función de referencia
Si no se especifica la función de referencia \( g(x) \), se suelen utilizar estas elecciones estándar:
- $ g(x) = \frac{1}{x - x_0} $ para $ x \to x_0 $
- $ g(x) = x $ para $ x \to \infty $
Estas funciones sirven como referencia habitual para comparar órdenes de infinitud.
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = x^2 $$
Tomamos como función de referencia
$$ g(x) = x \quad \text{para } x \to \infty $$
Calculamos el orden de infinitud de \( f(x) \) respecto de \( g(x) \)
$$ \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = \frac{x^2}{x^\gamma} $$
Para que el límite sea finito y distinto de cero, debe cumplirse
$$ 2 - \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 2 $$
Por tanto, \( x^2 \) es un infinito de orden 2 respecto de \( x \).
Este mismo procedimiento puede aplicarse para comparar cualquier par de funciones.
Jerarquía de crecimiento de funciones
Cuando \( x \to +\infty \), las funciones \( (\log_a x)^\alpha \), \( x^\beta \) y \( b^x \) tienden a infinito, pero no lo hacen al mismo ritmo. De hecho, existe una clara jerarquía de crecimiento entre ellas:
$$ (\log_a x)^\alpha \ll x^\beta \ll b^x $$
donde \( a,b>1 \) y \( \alpha, \beta > 0 \).
Esto significa que las funciones logarítmicas crecen mucho más lentamente que las funciones polinómicas, y estas, a su vez, crecen más lentamente que las funciones exponenciales. Esta diferencia de comportamiento se puede demostrar analizando ciertos límites cuando \( x \to +\infty \).
Primero comparamos una potencia de un logaritmo con una potencia de \( x \):
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\log_a x)^\alpha}{x^\beta} = 0 \]
Este resultado indica que, incluso elevando el logaritmo a una potencia positiva, su crecimiento es tan lento que se vuelve despreciable frente a cualquier función polinómica. En términos asintóticos, el término logarítmico queda dominado por el polinómico.
A continuación, comparamos una función polinómica con una función exponencial:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\beta}{b^x} = 0 \]
Aquí ocurre algo aún más marcado: la función exponencial crece tan rápido que termina superando a cualquier polinomio. Como consecuencia, cualquier potencia de \( x \), incluso con exponentes grandes, se vuelve despreciable en comparación. En este caso, el término exponencial es el dominante.
En conjunto, estos resultados muestran una jerarquía estricta de crecimiento. Para valores suficientemente grandes de \( x \), cada tipo de función crece mucho menos que el siguiente en la cadena.
Equivalencia asintótica
Dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), cuando \( x \to \alpha \), se dicen asintóticamente equivalentes si \[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \] En ese caso, se escribe \( f(x) \sim g(x) \).
Esta idea es fundamental en el cálculo de límites. Indica que ambas funciones presentan el mismo comportamiento cuando \( x \) se aproxima a \( \alpha \). En otras palabras, crecen o decrecen al mismo ritmo, por lo que pueden considerarse intercambiables desde el punto de vista asintótico.
Principio de sustitución
Si \( f(x) \sim g(x) \) cuando \( x \to \alpha \), entonces es posible sustituir \( f(x) \) por \( g(x) \) dentro de un límite, siempre que esta sustitución no modifique la estructura de la expresión.
\[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \]
La razón es sencilla. Cuando \( x \to \alpha \), el cociente \( \frac{f(x)}{g(x)} \) se aproxima a 1:
\[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \alpha} \left( \frac{f(x)}{h(x)} \cdot \frac{g(x)}{g(x)} \right) = \lim_{x \to \alpha} \left( \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \lim_{x \to \alpha} \left( \frac{g(x)}{h(x)} \cdot 1 \right) = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \]
Nota. Esta sustitución no es válida en todos los casos. Funciona bien en productos y cocientes, pero no puede aplicarse directamente a sumas o restas sin un estudio previo.
Ejemplo
Consideremos el límite
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ 2x } \]
Dentro de la raíz, el término dominante es \( x^2 \). Por ello, se tiene que \( \sqrt{x^2+3x} \sim \sqrt{x^2} \), lo que significa que ambas expresiones son equivalentes desde el punto de vista asintótico.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ \sqrt{x^2} } = 1 \]
Esto nos permite simplificar el cálculo sustituyendo \( \sqrt{x^2+3x} \) por \( \sqrt{x^2} \) en el límite original:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ 2x } \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2}}{ 2x } \]
Como \( \sqrt{x^2} = x \) cuando \( x \to \infty \), se obtiene:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ x}{ 2x} = \frac{1}{2} \]
Por tanto, el valor del límite es \( \frac{1}{2} \).
Este procedimiento se utiliza con frecuencia para simplificar límites y hacerlos más manejables.
