Recta tangente a una función
Dada una función \( y=f(x) \), la recta tangente en un punto \( A(x_0;y_0) \) es la recta que tiene la misma dirección que la gráfica de la función en ese punto. Su ecuación es
\[ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \]
Esta fórmula conecta dos ideas fundamentales del cálculo diferencial: la derivada y la pendiente de una recta.
La ecuación de una recta que pasa por un punto \( (x_0;y_0) \) del plano cartesiano puede escribirse como
\[ y-y_0=m(x-x_0) \]
donde \( m \) representa la pendiente.
En una recta tangente, esa pendiente coincide con la derivada de la función evaluada en el punto:
\[ m=f'(x_0) \]
Esta es una de las aplicaciones más importantes de la derivada, porque permite describir cómo se comporta localmente una función mediante una aproximación lineal.
Cómo calcular la recta tangente paso a paso
Consideremos la función
\[ y=x^2+2x \]
Queremos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto \( A(1;3) \).
Paso 1. Verificar que el punto pertenece a la curva
Antes de empezar, conviene comprobar que el punto pertenece realmente a la gráfica de la función.
Sustituyendo \( x=1 \) en la ecuación:
\[ y=1^2+2 \cdot 1 \]
\[ y=1+2=3 \]
El resultado es \( y=3 \), por lo tanto el punto \( A(1;3) \) pertenece a la parábola.
Nota. Esta comprobación inicial es muy importante. Si el punto no pertenece a la gráfica, entonces no puede existir una recta tangente en ese punto. Verificar las coordenadas desde el principio evita perder tiempo en cálculos innecesarios.
Paso 2. Escribir la familia de rectas que pasan por el punto
La ecuación de la familia de rectas que pasa por un punto \( (x_0 ; y_0 ) \) es
\[ y-y_0=m(x-x_0) \]
Sustituyendo \( x_0=1 \) y \( y_0=3 \):
\[ y-3=m(x-1) \]
donde \( m \) es la pendiente de la recta.
Ahora debemos encontrar cuál de todas esas rectas es tangente a la curva.
Paso 3. Calcular la derivada
Para determinar la pendiente de la recta tangente, calculamos la derivada de la función en \( x=1 \).
Partimos de la definición de derivada:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Evaluando en \( x=1 \):
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \]
Como la función es \( f(x)=x^2+2x \), tenemos
\[ f(1)=1^2+2 \cdot 1 \]
y
\[ f(1+h)=(1+h)^2+2(1+h) \]
Sustituyendo en la fórmula:
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[(1+h)^2+2(1+h)]-(1^2+2 \cdot 1)}{h} \]
Simplificando paso a paso:
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[1+2h+h^2+2+2h]-3}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[h^2+4h+3]-3}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{h^2+4h}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}(h+4) \]
Cuando \( h \to 0 \), el límite vale
\[ f'(1)=4 \]
Por tanto, la pendiente de la recta tangente es
\[ m=4 \]
Nota. Nota. En este ejemplo se ha utilizado la definición formal de derivada para mostrar con claridad todos los pasos necesarios para calcular la pendiente de la recta tangente. Sin embargo, cuando ya se tiene práctica con derivadas, existe una forma mucho más rápida de obtener el resultado. Dada la función \[ y=x^2+2x \] su derivada es \[ y'=2x+2
\] Para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto donde \( x=1 \), basta con sustituir este valor en la derivada: \[ y'=2 \cdot 1 +2 \] \[ y'=4 \] El resultado es el mismo, \( y'=4 \), lo que significa que la pendiente de la recta tangente es \( m=4 \), pero sin necesidad de calcular el límite del cociente incremental. Este procedimiento es especialmente práctico en los ejercicios porque, una vez obtenida la función derivada, puede utilizarse inmediatamente para calcular la pendiente \( m \) de la recta tangente en cualquier otro punto de la gráfica. Solo hay que sustituir en la derivada la coordenada \( x \) del punto correspondiente.
Para la función
\[ y=x^2+2x \]
la derivada es
\[ y'=2x+2 \]
Para hallar la pendiente en \( x=1 \), basta con sustituir ese valor en la derivada:
\[ y'=2 \cdot 1 +2 \]
\[ y'=4 \]
El resultado es exactamente el mismo, pero sin calcular el límite del cociente incremental. Este procedimiento es mucho más práctico, porque la función derivada puede reutilizarse inmediatamente para calcular la pendiente de la tangente en cualquier otro punto de la gráfica.
Paso 4. Hallar la ecuación de la recta tangente
Ahora sustituimos \( m=4 \) en la ecuación de la familia de rectas:
\[ y-3=4(x-1) \]
Simplificando:
\[ y-3=4x-4 \]
\[ y=4x-1 \]
Esta es la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto \( A(1;3) \).
Interpretación geométrica
La función \( y=x^2+2x \) representa una parábola. En el punto \( x=1 \), la gráfica tiene pendiente 4. Esto significa que la curva crece con la misma inclinación que la recta \( y=4x-1 \).
La recta tangente toca la parábola en el punto \( A(1;3) \) y comparte con la curva la misma dirección local en ese punto.
Y así sucesivamente.
