Aplicación abierta
Una función \( f: X \to Y \) entre dos espacios topológicos se denomina aplicación abierta si la imagen de todo conjunto abierto de \( X \) es también un conjunto abierto en \( Y \).
Una aplicación abierta preserva la propiedad de ser abierto. Dicho de otro modo, si partimos de un conjunto abierto en el dominio, su imagen seguirá siendo abierta en el codominio.
El concepto de aplicación abierta, también conocido como función abierta, resulta esencial en el estudio de las propiedades topológicas de los espacios, ya que permite entender mejor la relación entre \( X \) y \( Y \).
Por ejemplo, ayuda a describir cómo se transforma la estructura topológica de \( X \) al ser proyectada en \( Y \).
Existe un concepto análogo, el de aplicación cerrada. Una función \( f: X \to Y \) se denomina cerrada si la imagen de todo conjunto cerrado de \( X \) es también un conjunto cerrado en \( Y \). Es decir, envía conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.
Un ejemplo de aplicación abierta
Consideremos el espacio topológico $ X = \mathbb{R} $ y la función identidad \( f: X \to X \), definida por \( f(x) = x \) para todo \( x \in X \).
$$ f(x) = x $$
Esta función es siempre una aplicación abierta, pues la imagen de cualquier conjunto abierto \( U \subset X \) coincide con el mismo conjunto \( U \), que permanece abierto en \( X \).
Por ejemplo, si tomamos el intervalo abierto $ (1,4) $ en el dominio $ X $, su imagen mediante $ f $ será nuevamente el intervalo abierto $ (1,4) $ en el codominio.
Diferencia entre aplicaciones abiertas y funciones continuas
Las funciones continuas y las aplicaciones abiertas se distinguen por la forma en que tratan los conjuntos abiertos: las primeras se centran en las preimágenes, mientras que las segundas lo hacen en las imágenes.
- Una función continua \( f: X \to Y \) garantiza que la preimagen de cualquier conjunto abierto en \( Y \) sea un conjunto abierto en \( X \). En otras palabras, la continuidad describe cómo los conjuntos abiertos se "arrastran hacia atrás" desde el codominio hasta el dominio.
- Una aplicación abierta, en cambio, describe cómo los conjuntos abiertos se "empujan hacia adelante" del dominio al codominio. Si la imagen de todo abierto de \( X \) es abierta en \( Y \), entonces la función es abierta.
Por tanto, ¡aplicación abierta y función continua no son lo mismo!
Una función continua no tiene por qué ser abierta.
Ejemplo
Consideremos la función \( f(x) = x^2 \) definida en \( \mathbb{R} \).
$$ f(x) = x^2 $$
Esta función es continua, pero no es una aplicación abierta.
En efecto, si tomamos el conjunto abierto \( (-2, 2) \) en \( \mathbb{R} \), su imagen bajo \( f(x) = x^2 \) es \( [0, 4) \), que no es abierto en \( \mathbb{R} \) porque carece de un entorno abierto alrededor de \( 0 \), al ser este un punto de frontera cerrada.
Este ejemplo pone de manifiesto que la continuidad no implica necesariamente que los conjuntos abiertos se transformen en abiertos.
En conclusión, una aplicación abierta no tiene por qué ser continua, y viceversa. Por ello es importante no confundir ambas nociones ni suponer que una propiedad implica la otra.
Y así sucesivamente.
