Asíntotas

¿Qué son las asíntotas?

En matemáticas, una asíntota es una recta (o, en algunos casos, una curva) a la que la gráfica de una función se va aproximando indefinidamente cuando la variable independiente x tiende a más o menos infinito.

Dicho de otra manera, la distancia entre la curva y la asíntota se hace cada vez más pequeña hasta tender a cero.

• Si la asíntota es una recta, se llama asíntota lineal.
• Si se trata de una curva, se denomina asíntota curvilínea.

Existen tres tipos principales de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas (o inclinadas).

Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal se determina evaluando el límite de la función cuando x tiende a más o menos infinito:

$$ \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) = c $$

La asíntota horizontal existe si este límite es un número real finito.

Veamos un ejemplo sencillo de asíntota horizontal:

En la práctica, una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x o coincidente con él.

Conviene destacar que las asíntotas horizontales para x → +∞ y para x → −∞ no tienen por qué coincidir.

Ejemplo

Busquemos las asíntotas horizontales de la función:

$$ f(x) = \frac{x+1}{x} $$

Calculamos primero el límite cuando x → +∞:

$$ \lim_{x \rightarrow +∞ }\frac{x+1}{x} = 1 $$

La función, por tanto, tiene una asíntota horizontal en y = 1 para x → +∞.

Nota. Este caso corresponde a una indeterminación del tipo ∞/∞, que puede resolverse aplicando la Regla de L'Hôpital.

Ahora evaluamos el límite cuando x → −∞:

$$ \lim_{x \rightarrow -∞ }\frac{x+1}{x} = 1 $$

Por consiguiente, la función también presenta una asíntota horizontal en y = 1 para x → −∞.

 

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical aparece en los puntos donde la función no está definida. Se identifica evaluando el límite de f(x) cuando x se aproxima a x₀ por la derecha y por la izquierda: $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+ } f(x) = ±∞ $$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0^- } f(x) = ±∞ $$ donde x₀ es un punto de discontinuidad.

Existe una asíntota vertical en x₀ si dichos límites tienden a más o menos infinito.

He aquí un ejemplo práctico de asíntota vertical:

En la práctica, una asíntota vertical es una recta paralela al eje y o coincidente con él.

Ejemplo

Analicemos si la siguiente función presenta alguna asíntota vertical:

$$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$

La función no está definida en x = 1.

Estudiamos el límite cuando x tiende a 1 por ambos lados:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+ } \frac{x^2}{x-1} = +∞ $$

$$ \lim_{x \rightarrow 1^- } \frac{x^2}{x-1} = -∞ $$

De este modo, la función posee una asíntota vertical en x = 1.

Asíntotas oblicuas

Una asíntota oblicua (o inclinada) existe cuando el límite de la diferencia entre la función f(x) y la recta y = mx + q tiende a cero al hacer x → ±∞: $$ \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$

Veamos un ejemplo ilustrativo de asíntota oblicua:

Para comprobar si existe una asíntota oblicua cuando x → +∞, calculamos primero la pendiente m:

$$ m = \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} \ne 0 $$

Demostración. Si $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$ podemos fijar inicialmente q = 0 y calcular: $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx = 0 $$ Como el límite tiende a cero para x → ∞, es válido dividir entre x: $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x) - mx}{x} = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} - m = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} = m $$

Si la pendiente m existe y es distinta de cero, a continuación se calcula la ordenada q:

$$ q= \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) - mx \ne ∞ $$

Demostración. Si $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$ entonces: $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx - q = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx = q $$

Si q existe y es finita, la función tiene una asíntota oblicua y = mx + q cuando x → +∞. En caso contrario, no.

El mismo procedimiento sirve para estudiar la existencia de una asíntota oblicua cuando x → −∞.

Ejemplo

Examinemos si la siguiente función presenta una asíntota oblicua:

$$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$

Comprobamos primero que el límite cuando x → ∞ es infinito:

$$ \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} = ∞ $$

Nota. Este límite corresponde a una indeterminación ∞/∞, que puede resolverse con la Regla de L'Hôpital.

A continuación verificamos si la pendiente m es distinta de cero:

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{ \frac{x^2}{x-1} }{x} $$

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x(x-1)} $$

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x}{(x-1)} = 1 $$

Como m = 1 es finita y distinta de cero, calculamos ahora la ordenada q:

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} - mx $$

Con m = 1:

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} - x $$

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2-x^2+x}{x-1} $$

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x}{x-1} = 1 $$

Por lo tanto, la función posee una asíntota oblicua con pendiente m = 1 y ordenada q = 1:

Y así sucesivamente.