Continuidad de una función
Una función f(x) se dice continua en un punto x0 si está definida en ese punto, es decir, si $ f(x_0) $ existe, y además el límite de la función cuando x tiende a x0 existe, es finito y coincide con el valor de la función en ese mismo punto. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$
En otras palabras, al acercarnos a x0, los valores de la función se aproximan sin saltos al valor real de la función en ese punto.
Si el límite (finito) cuando $ x \to x_0 $ existe, entonces los límites laterales, tanto por la derecha como por la izquierda, existen y coinciden.
$$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) $$
Desde un punto de vista gráfico, una función continua puede dibujarse como una sola curva, sin interrupciones, saltos ni huecos.
Continuidad en los extremos de un intervalo. En los extremos de un intervalo, la continuidad se describe mediante límites laterales. En estos casos, se habla de continuidad por la derecha o por la izquierda.
- Si $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) $, la función es continua por la derecha
- Si $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) $, la función es continua por la izquierda
Ejemplo
Consideremos la función
$$ f(x) = x^2 $$
Queremos comprobar si la función es continua en x0=2.
Calculamos el límite:
$$ \lim_{x \rightarrow 2} x^2 = 4 $$
Evaluamos la función en ese punto:
$$ f(2) = 4 $$
Como el valor del límite coincide con el valor de la función, se cumple la condición de continuidad:
$$ \lim_{x \rightarrow 2} x^2 = f(2) $$
Por tanto, la función x2 es continua en x0=2.
Además, el resultado no depende de la dirección desde la que nos acercamos a 2, ya que los límites laterales coinciden:
$$ \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4 $$
$$ \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 $$
Este mismo razonamiento se aplica a cualquier punto del dominio (-∞,∞), por lo que la función es continua en toda la recta real.
Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \:\:\: \forall x_0 \in [a,b] $$
En términos prácticos, esto significa que la gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Continuidad en los extremos
En los extremos del intervalo, la continuidad se define mediante límites laterales.
En el extremo inicial a, se considera el límite lateral derecho:
$$ \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) $$
En el extremo final b, se considera el límite lateral izquierdo:
$$ \lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = f(b) $$
Ejemplo
Consideremos la función en el intervalo [0,2]:
\[ f(x) = x^2 \]
La función está definida en todos los puntos del intervalo.
Para cualquier \( x_0 \in [0,2] \), se cumple:
\[ \lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2 = f(x_0) \]
Por tanto, la función es continua en todo el intervalo [0,2].
También se verifica la continuidad en los extremos:
En el extremo inicial \( 0 \):
\[ \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = f(0) \]
En el extremo final \( 2 \):
\[ \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 = f(2) \]
En consecuencia, la función \( f(x) = x^2 \) es continua en todo el intervalo \( [0,2] \), ya que no presenta discontinuidades.
Y así sucesivamente.
