Cociente de incrementos
¿Qué es el cociente de incrementos?
El cociente de incrementos de una función se define mediante la expresión $$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
La cantidad \( h \) representa el incremento de la variable independiente.
¿Qué representa el cociente de incrementos?
Sea \( f(x) \) una función definida en un intervalo \( (a,b) \).
$$ f(x) $$
Para comprender mejor el significado del cociente de incrementos, resulta útil observar la gráfica de la función en el plano cartesiano.
Consideremos ahora un valor cualquiera \( h \) dentro del intervalo \( (a,b) \). Este valor representa una variación de la variable independiente \( x \).
Si aumentamos \( x \) en una cantidad \( h \), la función pasa a tomar el valor
$$ f(x+h) $$
Esta nueva situación también puede representarse gráficamente.
La variación de la variable dependiente, es decir, el cambio en el valor de la función, viene dada por
$$ f(x+h)-f(x) $$
El cociente entre la variación de la función y la variación de la variable independiente recibe el nombre de cociente de incrementos.
$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Desde el punto de vista geométrico, el cociente de incrementos representa la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica de la función.
Nota. El cociente de incrementos está definido para cualquier valor de \( h \), excepto cuando \( h=0 \). En ese caso, el denominador vale cero y la expresión queda indefinida.
Si la función \( f(x) \) está definida en un intervalo \([A,B]\), el cociente de incrementos coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A y B de la gráfica.
Ejemplo práctico
Consideremos la función
\[ y=f(x)=x^2+2x \]
Calculemos el cociente de incrementos en el punto de abscisa \( 2 \), utilizando un incremento \( h \).
Partimos de la definición:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \]
Primero calculamos \( f(2+h) \), sustituyendo \( x=2+h \) en la función:
\[ f(2+h)=(2+h)^2+2(2+h) \]
Desarrollamos la expresión:
\[ f(2+h) =(4+4h+h^2)+4+2h \]
\[ f(2+h) =8+6h+h^2 \]
Ahora calculamos \( f(2) \):
\[ f(2)=2^2+2 \cdot 2 \]
\[ f(2)=4+4=8 \]
Sustituimos ambos resultados en la fórmula del cociente de incrementos:
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{(8+6h+h^2)-8}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{6h+h^2}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h(6+h)}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =6+h \]
La expresión final representa la pendiente de la recta secante a la parábola que pasa por el punto de abscisa \( 2 \), mientras el incremento \( h \) varía.
Cuando \( h \) tiende a cero, la recta secante se aproxima cada vez más a la recta tangente a la curva.
