Ejemplos resueltos de límites

Una colección de ejercicios totalmente resueltos sobre el límite de una función.

Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2-3x}{x-3} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{3x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x-4}-2}{3x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3-x^2+4x}{x^5-x}$$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x$$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x+1}}{x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{x^3-x^2-x-2} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{3-\sqrt{8-x^3}} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^3+1}}{2x-x^2} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3-\sqrt{9-x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}-\sqrt{4+x^2}} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)} $$
Ejercicio	$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$

Ejercicio 1

En este ejercicio queremos entender cómo se comporta la siguiente función racional cuando \( x \) se acerca a 3:

$$ \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3} $$

La función no está definida en \( x = 3 \), pero eso no impide analizar su límite. Lo único que necesitamos es que 3 sea un punto de acumulación del dominio, y en este caso lo es.

Si intentamos sustituir directamente, obtenemos una forma indeterminada del tipo 0/0, de modo que hace falta trabajar un poco más:

$$ \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3} = \frac{0}{0} $$

La expresión se simplifica fácilmente factorizando el numerador:

$$ \frac{x(x - 3)}{x - 3} $$

Esto nos permite cancelar el factor común \( (x - 3) \):

$$ \lim_{x \rightarrow 3} x $$

Una vez reducido el límite, el resultado es inmediato:

$$ \lim_{x \rightarrow 3} x = 3 $$

La función, por tanto, se acerca al valor 3 cuando \( x \) tiende a ese punto.

Ejercicio 2

Analicemos ahora el límite de otra función racional, esta vez cuando \( x \) tiende a 2:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$

Aquí también la función no está definida en el punto donde queremos evaluar el límite, pero sí podemos estudiarlo porque 2 es un punto de acumulación del dominio.

La sustitución directa vuelve a llevarnos a una forma indeterminada del tipo 0/0:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{0}{0} $$

Para deshacerla basta con factorizar el numerador usando la identidad de diferencia de cuadrados:

$$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} $$

Al cancelar el factor común \( (x - 2) \), la expresión queda mucho más manejable:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} (x + 2) $$

Esta nueva función es continua en \( x = 2 \), así que sustituir directamente es suficiente:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} (x + 2) = 4 $$

El límite existe y su valor es 4.

Ejercicio 3

En este caso queremos calcular un límite ligeramente más interesante, en el que aparece una raíz cuadrada:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{3x} $$

Antes de trabajar el límite, revisamos el dominio. La raíz impone que \( x + 4 \ge 0 \), así que la función queda definida en:

$$ D_f = [-4, 0) \cup (0, +\infty) $$

Si probamos la sustitución directa obtenemos de nuevo una forma indeterminada:

$$ \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0} $$

Para resolverla, recurrimos a una técnica clásica: multiplicar por el conjugado del numerador. Esto nos permite eliminar la raíz y simplificar la expresión.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{3x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2} $$

El numerador se transforma en una diferencia de cuadrados:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + 4) - 4}{3x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{3x(\sqrt{x + 4} + 2)} $$

Al cancelar el factor común \( x \), la expresión queda limpia y fácil de manejar:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(\sqrt{x + 4} + 2)} $$

Esta función es continua en \( x = 0 \), así que sustituimos sin más:

$$ \frac{1}{3(\sqrt{4} + 2)} = \frac{1}{3(2 + 2)} = \frac{1}{12} $$

Conclusión: el límite vale \( \frac{1}{12} \).

Nota. También es posible resolver este límite mediante la Regla de L'Hôpital, ya que el cociente presenta la indeterminación \( \frac{0}{0} \). Al derivar numerador y denominador por separado obtenemos: $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}}{3} = \frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{4}} = \frac{1}{12} $$ El resultado coincide con el obtenido mediante la manipulación algebraica.

Ejercicio 4

Estudiemos el siguiente límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x - 4} - 2}{3x} $$

Lo primero es revisar el dominio. La raíz cuadrada solo admite valores cuyo argumento sea no negativo:

$$ x - 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 4 $$

Esto significa que la función solo está definida para:

$$ D_f = [4, +\infty) $$

Como \( x = 0 \) está fuera del dominio y no hay ningún entorno de 0 donde la función exista, el límite simplemente no puede definirse.

Conclusión: el límite no existe por una cuestión estricta de dominio.

Nota. Revisar el dominio antes de calcular un límite no es un detalle menor. Muchas veces evita operaciones innecesarias y ofrece la respuesta de inmediato.

Ejercicio 5

Analicemos ahora este límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3 - x^2 + 4x}{x^5 - x} $$

El punto \( x = 0 \) es un punto de acumulación del dominio, pero queda excluido porque anula el denominador.

La sustitución directa produce una forma indeterminada del tipo 0/0:

$$ \frac{0 - 0 + 0}{0 - 0} = \frac{0}{0} $$

Para avanzar, factorizamos:

$$ \frac{x(x^2 - x + 4)}{x(x^4 - 1)} $$

Eliminamos el factor común \( x \):

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 - x + 4}{x^4 - 1} $$

Ahora sí podemos evaluar en \( x = 0 \):

$$ \frac{4}{-1} = -4 $$

Conclusión: el límite vale \( -4 \).

Ejercicio 6

Consideremos el límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 - x} $$

El dominio viene dado por:

$$ D_f = [0, 9) \cup (9, +\infty) $$

Explicación. La raíz exige un argumento no negativo y el denominador se anula en \( 9 \). Por eso ese punto queda fuera del dominio.

Aun así, como \( 9 \) es un punto de acumulación, el límite puede estudiarse.

La sustitución directa produce la forma indeterminada:

$$ \frac{0}{0} $$

Racionalizamos el numerador:

$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{9 - x} \cdot \frac{3 + \sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} $$

Esto da lugar a:

$$ \frac{9 - x}{(9 - x)(3 + \sqrt{x})} $$

Tras simplificar obtenemos:

$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{3 + \sqrt{x}} = \frac{1}{6} $$

Resultado: el valor del límite es \( \frac{1}{6} \).

Nota. La Regla de L’Hôpital confirma el mismo resultado sin complicaciones adicionales.

Ejercicio 7

Estudiemos ahora el comportamiento de la expresión cuando \( x \to -\infty \):

$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2 + x} $$

El límite puede parecer confuso porque combina términos que crecen sin límite en sentidos distintos.

El término \( 2x \) tiende claramente a \( -\infty \). En cuanto a la raíz, contiene una estructura típica de \( \infty - \infty \). Para aclararlo, factorizamos \( x^2 \):

$$ 2x - \sqrt{x^2\left(4 + \frac{1}{x}\right)} $$

Como \( \sqrt{x^2} = -x \) para \( x \to -\infty \), la expresión queda:

$$ 2x + x\sqrt{4 + \frac{1}{x}} $$

Y como \( \frac{1}{x} \to 0 \), la raíz tiende a 2.

Por tanto:

$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 4x = -\infty $$

Resultado: el límite es \( -\infty \).

Justificación alternativa. Basta observar que, para \( x \) muy negativo, la raíz se comporta como \( -2x \). Así, la diferencia se reduce a \( 4x \), que tiende a \( -\infty \).

Ejercicio 8

Analicemos por último el límite:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + 3x - 4} - x $$

Tenemos una forma indeterminada del tipo \( \infty - \infty \), habitual cuando aparece una raíz de segundo grado junto a un término lineal.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado para eliminar la indeterminación:

$$ \frac{\left(\sqrt{x^2 + 3x - 4} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 3x - 4} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 3x - 4} + x} $$

El numerador se simplifica a:

$$ 3x - 4 $$

Factorizamos en numerador y denominador:

Numerador:

$$ x\left(3 - \frac{4}{x}\right) $$

Denominador:

$$ x\left(\sqrt{1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}} + 1\right) $$

Tras cancelar \( x \):

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}} + 1} $$

Las fracciones desaparecen al crecer \( x \), y queda:

$$ \frac{3}{2} $$

Resultado: el valor del límite es \( \frac{3}{2} \).

Ejercicio 9

En este ejercicio analizamos el comportamiento de una función racional cuando la variable se acerca a un punto donde la expresión no está definida. Nuestro objetivo es calcular:

$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 - 25} $$

Identificamos primero el dominio:

$$ D_f = (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty) $$

Los valores \( x = -5 \) y \( x = 5 \) no pertenecen al dominio porque anulan el denominador. Aun así, como \( -5 \) es un punto de acumulación, podemos estudiar el límite.

La sustitución directa da lugar a la forma indeterminada 0/0, lo que nos indica que la expresión necesita un tratamiento algebraico adicional. Factorizamos:

Numerador: \( (x - 2)(x + 5) \)
Denominador: \( (x - 5)(x + 5) \)

Tras cancelar el factor común \( x + 5 \), la expresión se simplifica notablemente:

$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x - 2}{x - 5} $$

Ahora el límite puede evaluarse sin dificultades y el valor final es:

$$ \frac{7}{10} $$

Nota. La Regla de L'Hôpital confirma el mismo resultado al derivar numerador y denominador. $$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 - 25} = \lim_{x \rightarrow -5} \frac{2x + 3}{2x} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10} $$

Ejercicio 10

Estudiamos ahora el siguiente límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x + 1}}{x} $$

El dominio de la función viene dado por:

$$ D_f = (-1, 0) \cup (0, +\infty) $$

Aunque \( x = 0 \) no pertenece al dominio, sí es un punto de acumulación, por lo que el límite puede analizarse correctamente.

La sustitución directa produce una forma indeterminada:

$$ \frac{0}{0} $$

Para simplificar la expresión multiplicamos y dividimos por 2:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \log \sqrt{x + 1}}{2x} $$

Aplicando la identidad \( 2 \log \sqrt{a} = \log a \), obtenemos:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x + 1)}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x + 1)}{x} $$

El límite interior es un resultado clásico:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1 $$

Por lo tanto:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log \sqrt{x + 1}}{x} = \frac{1}{2} $$

Resultado final: el límite es \( \frac{1}{2} \).

Nota. La Regla de L’Hôpital respalda este resultado. Derivando mediante la regla de la cadena, se obtiene: $$ D[\log \sqrt{x + 1}] = \frac{1}{2(x + 1)} $$ y por tanto $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2(x + 1)} = \frac{1}{2}. $$

Método alternativo

También podemos abordar este límite desde una perspectiva más algebraica.

Reescribimos el argumento del logaritmo como \( 1 + (\sqrt{x + 1} - 1) \), lo que nos permite utilizar la aproximación fundamental \( \log(1 + f(x)) \approx f(x) \) para valores pequeños de \( f(x) \).

Multiplicamos y dividimos por \( \sqrt{x + 1} - 1 \):

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + (\sqrt{x + 1} - 1))}{\sqrt{x + 1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} $$

El primer cociente tiende a 1 gracias al límite básico

$$ \lim_{f \to 0} \frac{\log(1 + f)}{f} = 1. $$

Nos quedamos entonces con:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} $$

Esta expresión sigue siendo del tipo 0/0, así que racionalizamos:

$$ \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} $$

Lo cual se reduce a:

$$ \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} $$

Finalmente, evaluamos en \( x = 0 \):

$$ \frac{1}{2} $$

Conclusión: una vez más, el límite es \( \frac{1}{2} \).

Nota. Este ejemplo ilustra cómo un mismo límite puede resolverse mediante técnicas distintas. Algunas son directas y concisas, mientras que otras requieren más pasos algebraicos. En cualquier caso, todas llevan al mismo resultado cuando el razonamiento es correcto.

Ejercicio 11

Analicemos el comportamiento del siguiente límite cuando la variable crece sin acotación:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} x + 2 - \sqrt{x^2 + 4x + 8} $$

La expresión presenta una forma indeterminada del tipo ∞ - ∞, habitual en diferencias entre funciones polinómicas y radicales.

El método más eficaz consiste en multiplicar y dividir por el conjugado. De este modo transformamos la diferencia en un producto que permite simplificar el término radical:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} (x + 2 - \sqrt{x^2 + 4x + 8}) \cdot \frac{x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 8}}{x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 8}} $$

Al aplicar la identidad \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), el numerador se reduce a una constante:

$$ (x + 2)^2 - (x^2 + 4x + 8) = -4 $$

El límite queda entonces:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4}{x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 8}} $$

El denominador crece sin límite, mientras que el numerador permanece constante. Esto hace que el cociente tienda a 0.

Resultado final: el valor del límite es 0.

Ejercicio 12

Estudiemos ahora el límite:

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2 + x - 10}{x^2 - 5x - 14} $$

Para determinar el dominio identificamos los valores que anulan el denominador. Resolviendo:

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2} $$

Los valores excluidos son, por tanto:

$$ x = -2 \quad \text{y} \quad x = 7 $$

De este modo obtenemos el dominio completo:

$$ D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 7) \cup (7, +\infty) $$

Aunque \( x = -2 \) no pertenece al dominio, sí es un punto de acumulación, lo que permite evaluar el límite.

La sustitución directa da lugar a la forma indeterminada 0/0, por lo que procedemos a factorizar ambos polinomios mediante el método de Ruffini:

Numerador: \( (x + 2)(3x - 5) \)
Denominador: \( (x + 2)(x - 7) \)

Una vez cancelado el factor común, el límite se reduce a una fracción elemental:

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x - 5}{x - 7} = \frac{11}{9} $$

Resultado final: el límite es \( \frac{11}{9} \).

Nota. Si se aplica la Regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador, se obtiene nuevamente: $$ \frac{6x + 1}{2x - 5} \bigg|_{x = -2} = \frac{11}{9}, $$ lo que confirma la consistencia del procedimiento.

Ejercicio 13

Estudiemos con más detalle el siguiente límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 9} - 3}{x^3 - x^2 - x - 2} $$

El primer paso consiste en factorizar el denominador mediante el método de Ruffini:

$$ x^3 - x^2 - x - 2 = (x - 2)(x^2 + x + 1) $$

De este modo la expresión adopta la forma:

$$ \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 9} - 3}{(x - 2)(x^2 + x + 1)} $$

La sustitución inmediata de \( x = 2 \) genera la indeterminación 0/0. Para eliminarla, racionalizamos el numerador multiplicando por el conjugado:

$$ \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 9} + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 9} + 3} $$

El numerador se transforma en una diferencia de cuadrados:

$$ (x^2 - 2x + 9) - 9 = x^2 - 2x $$

que puede factorizarse como:

$$ x(x - 2) $$

La expresión completa queda entonces:

$$ \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + x + 1)(\sqrt{x^2 - 2x + 9} + 3)} $$

Una vez eliminado el factor común \( x - 2 \), el límite se simplifica notablemente:

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x}{(x^2 + x + 1)(\sqrt{x^2 - 2x + 9} + 3)} $$

Al evaluar en \( x = 2 \), obtenemos:

$$ \frac{2}{(4 + 2 + 1)(\sqrt{9} + 3)} = \frac{2}{7 \cdot 6} = \frac{1}{21} $$

Resultado final: el límite es \( \frac{1}{21} \).

Ejercicio 14

Analicemos ahora un límite más delicado desde el punto de vista algebraico:

$$ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{3 - \sqrt{8 - x^3}} $$

La función está definida en:

$$ D_f = (-\infty , -1) \cup (-1, 2) $$

El punto \( x = -1 \) es un punto de acumulación del dominio, por lo que el límite puede estudiarse rigurosamente.

Una sustitución directa conduce de inmediato a la forma indeterminada 0/0:

$$ \frac{2 - 2}{3 - \sqrt{9}} = \frac{0}{0} $$

Para deshacer la indeterminación, racionalizamos el numerador:

$$ \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{3 - \sqrt{8 - x^3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} $$

Aplicando la identidad clásica \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), obtenemos:

$$ \frac{x^2 - 1}{(3 - \sqrt{8 - x^3})(\sqrt{x^2 + 3} + 2)} $$

Separar esta expresión en dos límites facilita el proceso:

$$ \left( \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2 - 1}{3 - \sqrt{8 - x^3}} \right) \cdot \left( \lim_{x \rightarrow -1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \right) $$

El segundo límite vale claramente \( \frac{1}{4} \). Nos centramos en el primero:

$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2 - 1}{3 - \sqrt{8 - x^3}} $$

La indeterminación persiste, así que racionalizamos ahora el denominador:

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{x^2 - 1}{3 - \sqrt{8 - x^3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{8 - x^3}}{3 + \sqrt{8 - x^3}} $$

Utilizando nuevamente la diferencia de cuadrados:

$$ \frac{(x^2 - 1)(3 + \sqrt{8 - x^3})}{9 - (8 - x^3)} $$

Esto se reduce a:

$$ \frac{(x^2 - 1)(3 + \sqrt{8 - x^3})}{1 + x^3} $$

Identificamos ahora las factorizaciones clave:

$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), \qquad 1 + x^3 = (x + 1)(1 - x + x^2) $$

Lo que permite cancelar el factor común \( x + 1 \):

$$ \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x - 1)(3 + \sqrt{8 - x^3})}{1 - x + x^2} $$

Evaluando en \( x = -1 \):

Numerador: \( (-2)(6) = -12 \)
Denominador: \( 1 - (-1) + 1 = 3 \)

Por tanto:

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{-12}{3} = -1 $$

Conclusión: el límite es \( -1 \).

Ejercicio 15

Estudiemos el siguiente límite fundamental del análisis:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} $$

Nos encontramos ante uno de los límites especiales más célebres. La sustitución directa da la indeterminación 0/0, lo que exige una justificación más fina.

Usamos el desarrollo de Maclaurin de primer orden para \( \sin(x) \):

$$ \sin(x) = x + o(x) $$

Al sustituirlo en la expresión:

$$ \frac{x + o(x)}{x} $$

Separamos el factor \( x \) en el numerador:

$$ \frac{x(1 + o(1))}{x} = 1 + o(1) $$

Y puesto que \( o(1) \to 0 \) cuando \( x \to 0 \), concluimos:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

Conclusión: el límite es igual a \( 1 \).

Ejercicio 16

Consideremos ahora:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} $$

La estructura remite al límite fundamental

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

pero en este caso el argumento del seno no coincide con el denominador. Para corregir ese desajuste multiplicamos y dividimos por 3:

$$ \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} $$

El segundo factor tiende a 1, porque toma exactamente la forma estándar. Así,

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 $$

Conclusión: el valor del límite es \( 3 \).

Ejercicio 17

Analicemos ahora el límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} $$

La sustitución directa produce la indeterminación \( 0/0 \), de modo que racionalizamos el numerador:

$$ \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} $$

Aplicando la identidad \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

$$ \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} $$

que se simplifica a:

$$ \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} $$

Esta función es continua en \( x = 0 \), por lo que basta sustituir:

$$ \frac{1}{2} $$

Resultado final: el límite es \( \frac{1}{2} \).

Ejercicio 18

Estudiemos finalmente el límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} $$

Recordemos el límite conocido:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} $$

Para aplicarlo, hacemos el cambio de variable \( u = 3x \), con lo cual \( u \to 0 \) simultáneamente. Obtenemos:

$$ \frac{1 - \cos(u)}{\left( \frac{u}{3} \right)^2} = 9 \cdot \frac{1 - \cos(u)}{u^2} $$

Aplicando el límite estándar:

$$ \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = \frac{1}{2} $$

obtenemos finalmente:

$$ 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2} $$

Resultado final: el límite es \( \frac{9}{2} \).

Ejercicio 19

Debemos calcular el siguiente límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} $$

También aquí nos encontramos ante una forma indeterminada del tipo 0/0.

Para evaluarlo, utilizamos el desarrollo de Maclaurin de orden tres de \( \sin(x) \), apropiado porque el denominador es un polinomio de grado tres:

$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $$

Nota. Truncamos la serie en el término cúbico, ya que los términos de orden superior no afectan al valor del límite.

Sustituimos el desarrollo en la expresión del límite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) - x}{x^3} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} $$

Factorizamos \( x^3 \) en el numerador:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \left( -\frac{1}{6} + o(1) \right)}{x^3} $$

Cancelamos \( x^3 \):

$$ \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + o(1) \right) $$

Dado que \( o(1) \to 0 \) cuando \( x \to 0 \), podemos concluir que:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} = -\frac{1}{6} $$

Resultado final: el límite es \( -\frac{1}{6} \).

Ejercicio 20

Se nos pide evaluar el límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} $$

De nuevo aparece una forma indeterminada del tipo 0/0:

$$ \frac{1 - \cos(0)}{0^2} = \frac{0}{0} $$

Para resolver este límite disponemos de varios métodos igualmente válidos.

Solución mediante la serie de Maclaurin

Como el límite se toma cuando \( x \to 0 \), podemos reemplazar el coseno por su desarrollo de Maclaurin hasta el término cuadrático:

$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2] $$

Sustituyendo en la expresión inicial obtenemos:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2])}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2} - o[x^2]}{x^2} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{2} - o[1] \right) = \frac{1}{2} $$

Conclusión: el valor del límite es \( \frac{1}{2} \).

Solución mediante la regla de L’Hôpital

Otra posibilidad es aplicar la regla de L’Hôpital, válida en esta situación indeterminada:

Primera derivada:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \frac{0}{0} $$

Segunda derivada:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2} $$

Conclusión: tras dos aplicaciones de la regla obtenemos de nuevo \( \frac{1}{2} \).

Solución mediante identidades trigonométricas

Partimos de la identidad del ángulo doble para el coseno:

$$ \cos(x) = 1 - 2\sin^2\left( \frac{x}{2} \right) $$

Al sustituirla en el límite original resulta:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)}{x^2} $$

Extraemos la constante:

$$ 2 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{x} \right)^2 $$

Reescribimos el denominador para ajustar la razón al argumento del seno:

$$ 2 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 $$

$$ 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} $$

Conclusión: el límite es \( \frac{1}{2} \), en plena concordancia con los otros métodos.

Ejercicio 21

Analicemos ahora el límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} $$

Una vez más aparece una forma indeterminada del tipo 0/0.

Solución mediante el desarrollo de Maclaurin

Desplegamos \( \cos(x) \) utilizando su desarrollo de Maclaurin hasta el término cuadrático:

$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2] $$

Sustituimos en la expresión del límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + o[x^2]) - 1}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + o[x^2]}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\frac{x}{2} + x \cdot o[1] \right) = 0 $$

Conclusión: el valor del límite es 0.

Nota. También es suficiente el desarrollo de primer orden, \( \cos(x) = 1 + o[x] \), que permite llegar al mismo resultado de manera inmediata.

Solución mediante la regla de L'Hôpital

Aplicamos directamente la regla:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D[\cos(x) - 1]}{D[x]} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x)}{1} = 0 $$

Conclusión: el límite vale 0.

Solución mediante la definición de derivada

La expresión coincide con la definición de la derivada de \( \cos(x) \) en \( x = 0 \):

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - \cos(0)}{x - 0} = \cos'(0) = -\sin(0) = 0 $$

Conclusión: el límite es 0.

Solución utilizando límites fundamentales

Realizamos una transformación algebraica basada en un límite conocido:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot x \right) $$

Como se sabe que \( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \), obtenemos:

$$ -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $$

Conclusión: el límite es 0.

Ejercicio 22

Deseamos calcular el siguiente límite:

$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} $$

Dado que la tangente de \( \pi/4 \) vale:

$$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$

obtenemos una forma indeterminada del tipo 0/0:

$$ \frac{\tan(x) - 1}{x - \frac{\pi}{4}} = \frac{0}{0} $$

Este límite es, por definición, la derivada de \( f(x) = \tan(x) \) evaluada en \( x = \frac{\pi}{4} \):

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) $$

Por tanto:

$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x) - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{x - \frac{\pi}{4}} = \frac{d}{dx}[\tan(x)]\Big|_{x = \frac{\pi}{4}} $$

La derivada de la tangente es bien conocida:

$$ \frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} $$

Evaluamos en \( x = \frac{\pi}{4} \):

$$ \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$

Conclusión: el valor del límite es 2.

Método alternativo. También podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital: $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x) - 1}{x - \frac{\pi}{4}} = \frac{d}{dx}[\tan(x)] \bigg/ \frac{d}{dx}[x] = \frac{1}{\cos^2(x)} $$ Al evaluar en \( x = \frac{\pi}{4} \) obtenemos nuevamente: $$ \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 2 $$ Un resultado completamente coherente con el método anterior.

Ejercicio 23

Analicemos el siguiente límite:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x - 1} $$

Esta expresión también conduce a una forma indeterminada de tipo 0/0.

Para evaluarlo, utilizamos las aproximaciones de las funciones trascendentales mediante sus series de Maclaurin alrededor de cero:

$$ \sin(x) = x + o[x], \quad e^x = 1 + x + o[x] $$

Al sustituir estas expansiones en el límite obtenemos:

$$ \frac{x + o[x]}{(1 + x + o[x]) - 1} = \frac{x + o[x]}{x + o[x]} $$

Como \( o[x] = x \cdot o[1] \), factorizamos \( x \):

$$ \frac{x(1 + o[1])}{x(1 + o[1])} = \frac{1 + o[1]}{1 + o[1]} $$

Y dado que \( o[1] \to 0 \), el límite resulta ser:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 + o[1]}{1 + o[1]} = 1 $$

Conclusión: el valor del límite es 1.

Ejercicio 24

Estudiemos ahora el límite cuando \( x \to 2 \):

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - \sqrt{x^3 + 1}}{2x - x^2} $$

La sustitución directa produce la forma indeterminada 0/0:

$$ \frac{\sqrt{9} - \sqrt{9}}{4 - 4} = \frac{0}{0} $$

Para resolverla, racionalizamos el numerador:

$$ \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{x^3 + 1}} $$

Esto nos permite escribir:

$$ \frac{(x^2 + 5) - (x^3 + 1)}{2x - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{x^3 + 1}} $$

Lo que se simplifica a:

$$ \frac{x^2 - x^3 + 4}{2x - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{x^3 + 1}} $$

El segundo factor tiende a \( \frac{1}{6} \), por lo que podemos extraerlo y escribir:

$$ \frac{1}{6} \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - x^3 + 4}{2x - x^2} $$

El límite restante sigue siendo de tipo 0/0. Para continuar, factorizamos el numerador empleando la regla de Ruffini:

$$ \frac{1}{6} \cdot \frac{(x - 2)(-x^2 - x - 2)}{2x - x^2} $$

Nota. Mediante la regla de Ruffini, el polinomio \( x^2 - x^3 + 4 \) se factoriza como \( (x - 2)(-x^2 - x - 2) \): $$ \begin{array}{c|rrrr} & -1 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & & -2 & -2 & -4 \\ \hline & -1 & -1 & -2 & 0 \end{array} $$

El denominador \( 2x - x^2 \) puede reescribirse como \( -x(x - 2) \), lo que permite simplificar la fracción:

$$ \frac{1}{6} \cdot \frac{(x - 2)(-x^2 - x - 2)}{-x(x - 2)} $$

Tras cancelar el factor común \( x - 2 \):

$$ \frac{1}{6} \cdot \frac{-x^2 - x - 2}{-x} $$

Finalmente, evaluamos en \( x = 2 \):

$$ \frac{1}{6} \cdot \frac{-4 - 2 - 2}{-2} = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{2}{3} $$

Conclusión: el valor del límite es \( \frac{2}{3} \).

Ejercicio 25

En este ejercicio calculamos el siguiente límite cuando \( x \to 0 \):

$$ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{3 - \sqrt{9 - x^2}}{2 \sqrt{1 + x^2} - \sqrt{4 + x^2}} $$

El punto \( x = 0 \) pertenece al dominio de la función y es un punto de acumulación.

La sustitución directa da lugar a una forma indeterminada del tipo 0/0:

$$ \frac{3 - \sqrt{9 - x^2}}{2 \sqrt{1 + x^2} - \sqrt{4 + x^2}} = \frac{0}{0} $$

Para eliminar la indeterminación racionalizamos el denominador multiplicando por su conjugado:

$$ \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{4 + x^2}}{2 \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{4 + x^2}} $$

Aplicamos la identidad de la diferencia de cuadrados, lo que nos permite escribir:

$$ \frac{(3 - \sqrt{9 - x^2})(2 \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{4 + x^2})}{4(1 + x^2) - (4 + x^2)} $$

$$ = \frac{(3 - \sqrt{9 - x^2})(2 \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{4 + x^2})}{3x^2} $$

Descomponemos la expresión como producto de dos factores:

$$ \left( \frac{3 - \sqrt{9 - x^2}}{3x^2} \right) \cdot \left( 2 \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{4 + x^2} \right) $$

El segundo factor tiende a 4 cuando \( x \to 0 \), de modo que obtenemos:

$$ 4 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3 - \sqrt{9 - x^2}}{3x^2} $$

Para resolver el límite restante racionalizamos el numerador:

$$ \cdot \frac{3 + \sqrt{9 - x^2}}{3 + \sqrt{9 - x^2}} $$

Aplicamos de nuevo la diferencia de cuadrados:

$$ \frac{9 - (9 - x^2)}{3x^2(3 + \sqrt{9 - x^2})} = \frac{x^2}{3x^2(3 + \sqrt{9 - x^2})} $$

Lo que se simplifica a:

$$ \frac{1}{3(3 + \sqrt{9 - x^2})} $$

Tomando el límite cuando \( x \to 0 \):

$$ 4 \cdot \frac{1}{3(3 + 3)} = 4 \cdot \frac{1}{18} = \frac{2}{9} $$

Conclusión: el límite vale \( \frac{2}{9} \).

Ejercicio 26

Calculemos ahora el límite siguiente cuando \( x \to 0 \):

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x} - 1) \sin(x^4)}{x^2 \log(1 + x^3)} $$

La sustitución directa produce la forma indeterminada 0/0.

Reescribimos la expresión como producto de dos límites más manejables:

$$ \left( \frac{e^{3x} - 1}{x} \right) \cdot \left( \frac{\sin(x^4)}{x \log(1 + x^3)} \right) $$

Introducimos un factor 3 para aislar el límite fundamental de la función exponencial:

$$ 3 \cdot \left( \frac{e^{3x} - 1}{3x} \right) \cdot \left( \frac{\sin(x^4)}{x \log(1 + x^3)} \right) $$

Sabemos que:

\( \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1 \) para \( t = 3x \)

Por tanto, solo queda por examinar:

$$ 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^4)}{x \log(1 + x^3)} $$

Multiplicamos y dividimos por \( x^3 \) para reorganizar términos:

$$ = 3 \cdot \frac{\sin(x^4)}{x^4} \cdot \frac{1}{\frac{\log(1 + x^3)}{x^3}} $$

Aplicamos dos límites fundamentales del análisis:

• \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \) con \( t = x^4 \)
• \( \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{t} = 1 \) con \( t = x^3 \)

De modo que resulta:

$$ 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = 3 $$

Conclusión: el límite es 3.

Ejercicio 27

Queremos evaluar el límite:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$

A primera vista el cociente es del tipo \( \frac{\infty}{\infty} \), pero la Regla de L'Hôpital no resulta útil, ya que las derivadas del numerador y del denominador no generan un límite convergente:

$$ \frac{1 + \cos(x)}{1 + \sin(x)} $$ presenta oscilaciones y no converge cuando \( x \to \infty \).

Método 1: Simplificación algebraica

Dividimos numerador y denominador entre \( x \):

$$ \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} $$

Dado que \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) están acotados, se tiene:

$$ \frac{\sin(x)}{x} \to 0, \quad \frac{\cos(x)}{x} \to 0 \quad \text{cuando } x \to \infty $$

Por consiguiente:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} = 1 $$

Conclusión: el límite vale 1.

Método 2: Teorema del acotamiento

Sea:

$$ f(x) = \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} $$

Como \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \) y \( -1 \leq \cos(x) \leq 1 \), se obtiene:

$$ \frac{x - 1}{x + 1} \leq f(x) \leq \frac{x + 1}{x - 1} $$

Tomando límites de los extremos cuando \( x \to \infty \):

$$ \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \leq f(x) \leq \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $$

Ambas expresiones convergen a 1 y, por el teorema del acotamiento, concluimos:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x - \cos(x)} = 1 $$