Teorema del límite de la suma
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones que admiten límites finitos cuando $x \to x_0$
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m $$
Entonces, el límite de su suma existe y es igual a la suma de los límites
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)] = l + m $$
donde $l, m \in \mathbb{R}$
En otras palabras, el límite de una suma coincide con la suma de los límites, siempre que ambos existan y sean finitos.
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)] = l + m $$
La misma regla se aplica a la diferencia:
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)-g(x)] = l - m $$
Este resultado es uno de los principios básicos del cálculo. Su importancia radica en que permite descomponer una expresión en partes más simples, calcular cada límite por separado y, finalmente, combinar los resultados.
¿Por qué funciona esta regla?
La idea es directa. Cuando $x$ se aproxima a $x_0$, los valores de $f(x)$ se acercan cada vez más a $l$, y los de $g(x)$ se aproximan a $m$.
Como consecuencia, la suma $f(x)+g(x)$ se aproxima a $l+m$.
Nota. El teorema se aplica cuando ambos límites existen y son números reales finitos. Si alguno de los límites no existe o es infinito, la regla no puede utilizarse automáticamente, y la expresión debe analizarse con más detalle.
Por ejemplo:
$$ \lim_{x \to +\infty} x = +\infty $$
$$ \lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty $$
La suma conduce a una forma indeterminada:
$$ +\infty - \infty = \text{ind} $$
En este caso, el teorema no es directamente aplicable.
Dentro del marco de los números reales extendidos, la propiedad puede ampliarse siempre que la suma no genere una forma indeterminada.
Por ejemplo, si dos funciones divergen a $+\infty$, su suma también diverge a $+\infty$:
$$ \infty + \infty = +\infty $$
Un análisis sistemático muestra que las formas indeterminadas asociadas a la suma son:
$+\infty - \infty$ y $-\infty + \infty$
| ℓ | +∞ | -∞ | |
|---|---|---|---|
| m | m + ℓ | +∞ | -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | ? |
| -∞ | -∞ | ? | -∞ |
Más generalmente, este teorema es un caso particular de la linealidad del límite, propiedad que regula sumas, diferencias y múltiplos escalares.
$$ \lim_{x \to x_0} [a f(x) + b g(x)] = a \lim_{x \to x_0} f(x) + b \lim_{x \to x_0} g(x) $$
La linealidad indica que el operador límite preserva las combinaciones lineales.
Esta propiedad constituye uno de los fundamentos del cálculo y sustenta la técnica estándar de simplificar expresiones complejas descomponiéndolas en términos elementales.
Un ejemplo práctico
Calcular el límite
$$ \lim_{x \to 2} (3x + 5) $$
Reescribimos la expresión como suma:
$$ 3x + 5 = (3x) + 5 $$
Calculamos los límites de cada término:
$$ \lim_{x \to 2} 3x = 3 \cdot 2 = 6 $$
$$ \lim_{x \to 2} 5 = 5 $$
Aplicamos el teorema:
$$ \lim_{x \to 2} (3x + 5) = 6 + 5 = 11 $$
El cálculo es inmediato, ya que el límite se distribuye respecto de la suma.
Ejemplo 2
Consideremos las funciones
$$ f(x) = x^2 $$
$$ g(x) = \sin x $$
Calcular el límite de su suma:
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] $$
Aplicamos la linealidad:
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = \lim_{x \to 0} [x^2] + \lim_{x \to 0} [\sin x] $$
Evaluamos los límites elementales:
$$ \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 $$
Sustituimos los resultados:
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = 0 + 0 = 0 $$
Por lo tanto
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = 0 $$
No se requiere ninguna manipulación adicional. La linealidad del límite permite obtener el resultado de forma directa.
Ejemplo 3
Calcular el límite
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2 + 3x) $$
Comenzamos aplicando la propiedad del límite de una suma:
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2) + \lim_{x \to 1} (3x) $$
Ahora utilizamos la propiedad del múltiplo constante, extrayendo los factores 2 y 3:
$$ 2 \cdot \lim_{x \to 1} x^2 + 3 \cdot \lim_{x \to 1} x $$
Evaluamos los límites por separado. En ambos casos, el resultado es 1:
$$ 2 \cdot \underbrace{ \lim_{x \to 1} x^2}_{=1} + 3 \cdot \underbrace{ \lim_{x \to 1} x}_{=1} $$
$$ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 $$
$$ = 2 + 3 = 5 $$
Por lo tanto,
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2 + 3x) = 5 $$
Gracias a las propiedades de los límites, el problema se reduce a cálculos elementales.
Nota. Este ejemplo es intencionalmente sencillo. Aunque el límite podría obtenerse directamente por sustitución, el procedimiento paso a paso permite apreciar cómo actúan las reglas de los límites. En expresiones más complejas, este enfoque no solo es útil, sino necesario para estructurar correctamente el cálculo.
Demostración
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) funciones que admiten límites finitos \( l,m \in \mathbb{R} \) cuando \( x \to x_0 \).
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \]
\[ \lim_{x \to x_0} g(x)=m \]
Demostramos que
\[ \lim_{x \to x_0}[f(x)+g(x)]=l+m \]
Por la definición de límite aplicada a \( f(x) \), para todo \( \varepsilon > 0 \), existe un entorno \( I_1 \) de \( x_0 \) tal que
\[ |f(x) - l| < \varepsilon/2 \qquad \forall x \in I_1,\ x \neq x_0 \]
De manera análoga, por la definición de límite aplicada a \( g(x) \), para el mismo \( \varepsilon/2 \), existe un entorno \( I_2 \) de \( x_0 \) tal que
\[ |g(x) - m| < \varepsilon/2 \qquad \forall x \in I_2,\ x \neq x_0 \]
Consideramos la intersección
\[ I = I_1 \cap I_2 \]
La intersección \( I \) es también un entorno de \( x_0 \).
Para todo \( x \in I \), con \( x \neq x_0 \), se cumplen simultáneamente ambas desigualdades. Entonces
\[ |[f(x)+g(x)] - (l+m)| = |(f(x)-l) + (g(x)-m)| \]
Aplicamos la desigualdad triangular:
\[ |(f(x)-l) + (g(x)-m)| \le |f(x)-l| + |g(x)-m| \]
Usando las cotas anteriores:
\[ |f(x)-l| + |g(x)-m| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \]
Por consiguiente,
\[ |[f(x)+g(x)] - (l+m)| < \varepsilon \qquad \forall x \in I,\ x \neq x_0 \]
Dado que esto ocurre para todo \( \varepsilon > 0 \), por definición
\[ \lim_{x \to x_0}[f(x)+g(x)] = l+m \]
Queda demostrado.
Nota. La elección de \( \varepsilon/2 \) reparte la tolerancia total entre ambas funciones. La desigualdad triangular garantiza que el error en la suma permanezca dentro del margen \( \varepsilon \).
Y así sucesivamente.
