Límites
¿Qué es un límite?
Un límite es un concepto fundamental en matemáticas que nos permite estudiar el comportamiento de una función o de una sucesión cuando su variable x (en el caso de funciones) o su índice n (en el caso de sucesiones) se aproxima a un valor determinado x0, ya sea finito o infinito. $$ \lim_{x \rightarrow x_0 } $$
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión an describe cómo evolucionan sus términos a medida que el índice n crece sin límite.
$$ \lim_{n \rightarrow x_0 } a_n = l $$
En este caso, x0 puede ser un número real finito o bien infinito positivo o negativo.
Límite de una función
El límite de una función f(x) indica cuál es el comportamiento de la función cuando la variable x se acerca a un valor dado x0.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) = l $$
Al igual que antes, x0 puede ser un valor finito o tender hacia infinito positivo o negativo.
Definición general de límite
La noción de límite puede formularse de manera unificada tanto para funciones como para sucesiones, ya que una sucesión no es más que un caso particular de función f: N → R.
De hecho, a partir de cualquier función f(x) es posible construir una sucesión definiendo an = f(n) para todo n ∈ N.
Sea f(x) una función definida en un conjunto I ⊆ R, y sea x0 ∈ (-∞, +∞) un punto de acumulación de I. Diremos que f(x) tiene límite l ∈ (-∞, +∞) cuando x tiende a x0 si, para todo entorno U de l, existe un entorno V de x0 tal que $$ x \in V \setminus \{x_0\} \Rightarrow f(x) \in U $$
Dado que el conjunto de los números naturales N solo posee un punto de acumulación en el infinito positivo, al trabajar con sucesiones se considera únicamente el límite cuando n → ∞.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = l $$
A continuación se muestra una representación gráfica del límite de una sucesión an.
Y así sucesivamente.
