Límite de una sucesión aritmética
El comportamiento de una sucesión aritmética \( a_n = a_1 + (n-1)d \), cuando el índice \( n \) crece sin límite, depende únicamente del valor de la diferencia común \( d \).
- Si \( d = 0 \), la sucesión es constante y su límite coincide con el primer término: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = a_1 \]
- Si \( d \neq 0 \), la sucesión no converge, sino que diverge: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} +\infty & \text{si } d > 0 \\ -\infty & \text{si } d < 0 \end{cases} \]
En síntesis, una sucesión aritmética tiene límite finito únicamente cuando es constante; en cualquier otro caso, es divergente.
Una sucesión aritmética es una sucesión numérica en la que la diferencia entre dos términos consecutivos se mantiene constante. Esta cantidad se denomina diferencia común y se representa por \( d \).
Podemos definir cada término a partir del anterior mediante una relación recursiva:
$$ a_n = a_{n-1} + d $$
También es posible escribir directamente el término general:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Esta forma explícita resulta especialmente útil para analizar cómo evoluciona la sucesión cuando \( n \) tiende a infinito.
Veamos los dos casos posibles.
1] Caso 1: la diferencia común es cero
Si \( d = 0 \), todos los términos son iguales al primero. La sucesión, por tanto, es constante.
De manera inmediata se obtiene:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = a_1 \]
2] Caso 2: la diferencia común es distinta de cero
Si \( d \neq 0 \), cada término se obtiene sumando o restando siempre la misma cantidad. Esto hace que la sucesión crezca o decrezca sin límite, es decir, que no esté acotada.
- Si \( d > 0 \), la sucesión es estrictamente creciente y diverge hacia \( +\infty \).
- Si \( d < 0 \), la sucesión es estrictamente decreciente y diverge hacia \( -\infty \).
En forma compacta:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} +\infty & \text{si } d > 0 \\ -\infty & \text{si } d < 0 \end{cases} \]
Por tanto, toda sucesión aritmética con \( d \neq 0 \) es divergente.
Ejemplos
Consideremos una sucesión aritmética con término inicial \( a_1 = 5 \) y diferencia común \( d = 0 \).
La sucesión es:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Al ser constante, su límite es:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = 5 \]
Ejemplo 2
Consideremos una sucesión aritmética con término inicial \( a_1 = 2 \) y diferencia común positiva \( d = 3 \).
La sucesión es:
\[ 2, 5, 8, 11, 14, \dots \]
La sucesión crece sin límite superior. Por tanto:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \]
Ejemplo 3
Consideremos una sucesión aritmética con término inicial \( a_1 = 10 \) y diferencia común negativa \( d = -2 \).
La sucesión es:
\[ 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, \dots \]
La sucesión decrece sin límite inferior. Por tanto:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \]
Y así sucesivamente.
