Ejercicios sobre límites de sucesiones

En esta página encontrarás ejemplos explicados paso a paso que ayudan a entender cómo se calcula el límite de una sucesión. La idea es mostrar el proceso con claridad, para que puedas seguirlo sin perder de vista la lógica detrás de cada transformación algebraica.

Ejercicio 1

Empecemos analizando una sucesión que, a primera vista, podría parecer que tiende a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n+5} = 1 $$

Recordemos el criterio fundamental: una sucesión $(a_n)$ converge a un número real $l$ si, para cualquier $\epsilon > 0$, se cumple:

$$ |a_n - l| < \epsilon $$

Dado que trabajamos con $n$ entero positivo, asumimos $n > 0$. Sustituimos la expresión de la sucesión y probamos con $l = 1$:

$$ \left|\frac{n}{2n+5} - 1\right| < \epsilon $$

A partir de aquí, simplificamos el valor absoluto paso a paso:

$$ \left|\frac{n - (2n+5)}{2n+5}\right| < \epsilon $$ $$ \left|\frac{-n - 5}{2n+5}\right| < \epsilon $$ $$ \frac{n + 5}{2n+5} < \epsilon $$

Desarrollamos la desigualdad:

$$ n + 5 < \epsilon(2n + 5) $$ $$ n + 5 < 2n\epsilon + 5\epsilon $$ $$ n - 2n\epsilon < 5\epsilon - 5 $$ $$ n(1 - 2\epsilon) < 5(\epsilon - 1) $$

En este punto ya no es posible simplificar más. Solo queda comprobar cuándo se cumple esta desigualdad.

Si $\epsilon > 1$, la desigualdad funciona sin problemas: el lado izquierdo es negativo y el derecho positivo.
Si $\epsilon = 1$, también sigue siendo válida, ya que $n(1 - 2\epsilon) = -n < 0$.
Si $\epsilon < 1$, la desigualdad deja de cumplirse de forma general. De hecho, cuanto más pequeño es $\epsilon$, peor funciona. Por ejemplo, con $\epsilon = 0.1$, los signos de ambos lados se invierten.

Esto nos indica que la sucesión no puede converger a 1. Continuemos para ver cuál es realmente su límite.

Nota: La sucesión sí converge, pero no a 1 sino a 1/2. Este es el límite correcto:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n+5} = \frac{1}{2} $$

Comprobémoslo siguiendo el mismo razonamiento:

$$ |a_n - l| < \epsilon $$ $$ \left|\frac{n}{2n+5} - \frac{1}{2} \right| < \epsilon $$ $$ \left|\frac{2n - (2n+5)}{2(2n+5)}\right| < \epsilon $$ $$ \left|\frac{-5}{2(2n+5)}\right| < \epsilon $$ $$ \frac{5}{2(2n+5)} < \epsilon $$

Aislamos ahora $n$:

$$ \frac{5}{2\epsilon} < 2n + 5 $$ $$ \frac{5}{2\epsilon} - 5 < 2n $$ $$ \frac{5}{4\epsilon} - \frac{5}{2} < n $$

Esta última desigualdad se cumple para todo $\epsilon > 0$, lo que confirma de forma clara y definitiva que la sucesión converge a 1/2.

Con este ejemplo vemos cómo el proceso formal de la definición de límite no solo verifica un valor propuesto, sino que además permite corregirlo si es necesario, llevándonos al límite real de la sucesión.