Límite de la raíz n-ésima de una función
Sea \( f(x) \) una función tal que $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$ con \( l > 0 \). Entonces $$ \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to x_0} f(x)} = \sqrt[n]{l}. $$ Si \( n \) es impar, el teorema también es válido para \( l \le 0 \).
La idea es sencilla. Si una función se aproxima a un valor concreto, la raíz n-ésima de esa función se aproxima a la raíz n-ésima de dicho valor.
Desde el punto de vista operativo, el procedimiento es directo:
- calcular primero el límite de la expresión interior
- aplicar después la raíz al resultado
Esta regla es válida siempre que el valor límite pertenezca al dominio de la función raíz.
La utilidad del teorema es clara. Permite evaluar límites con radicales sin transformar la expresión ni introducir pasos intermedios innecesarios.
¿Por qué se exige la condición \( l > 0 \)? Cuando \( n \) es par, la raíz n-ésima solo está definida en los números reales para argumentos no negativos. En consecuencia, el límite \( l \) debe ser estrictamente positivo. Por ejemplo $$ \sqrt{-8} \ \text{no es un número real}. $$ Si \( n \) es impar, esta restricción desaparece. La raíz también existe para valores negativos. Por ejemplo $$ \sqrt[3]{-8} = -2. $$
Ejemplos resueltos
Consideremos el límite
$$ \lim_{x \to 4} \sqrt{x} $$
Primero calculamos el límite interior:
$$ \lim_{x \to 4} x = 4 $$
El valor límite es positivo y el índice del radical es par, por lo que el teorema se aplica:
$$ \lim_{x \to 4} \sqrt{x} = \sqrt{\lim_{x \to 4} x} = \sqrt{4} = 2 $$
El resultado se obtiene inmediatamente.
Ejemplo 2
Evaluemos ahora
$$ \lim_{x \to -8} \sqrt[3]{x} $$
El límite interior es
$$ \lim_{x \to -8} x = -8 $$
Como el índice del radical es impar, la raíz está definida también para valores negativos:
$$ \lim_{x \to -8} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{-8} = -2 $$
Ejemplo 3
Calculemos
$$ \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + 3} $$
Se trata de una composición de funciones. Primero:
$$ \lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 1^2 + 3 = 4 $$
Luego:
$$ \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$
Demostración
El resultado se deduce del teorema del límite de una potencia entera.
Definimos la función auxiliar
$$ g(x) = \sqrt[n]{f(x)} $$
Entonces
$$ f(x) = [g(x)]^n $$
Sabemos que
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$
Sustituyendo:
$$ \lim_{x \to x_0} [g(x)]^n = l $$
Aplicamos el teorema del límite de una potencia:
$$ \lim_{x \to x_0} [g(x)]^n = \left( \lim_{x \to x_0} g(x) \right)^n $$
Por tanto,
$$ \left( \lim_{x \to x_0} g(x) \right)^n = l $$
Tomamos la raíz n-ésima en ambos miembros:
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = \sqrt[n]{l} $$
Recordando que \( g(x) = \sqrt[n]{f(x)} \), concluimos:
$$ \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{l} $$
Queda demostrado.
Y así sucesivamente.
