Límites Notables
Los lÃmites notables son expresiones lÃmite de funciones o sucesiones que aparecen con gran frecuencia y resultan especialmente valiosas, pues permiten calcular de manera rápida y eficaz muchos otros lÃmites más complejos.
¿Por qué memorizar un lÃmite notable? La justificación rigurosa de un lÃmite notable no siempre es inmediata: a menudo exige una demostración formal. Sin embargo, una vez asimilado el resultado, se convierte en un recurso extremadamente útil que agiliza la resolución de una amplia variedad de problemas de lÃmites.
Lista de LÃmites Notables
A continuación se recopilan algunos de los lÃmites fundamentales del cálculo:
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos x }{x^2} = \frac{1}{2} $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos kx }{x^2} = \frac{k^2}{2} $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log(1+x) }{x} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} a^x = \begin{cases} +\infty \quad \text{si } a > 1 \\ 1 \quad \text{si } a = 1 \\ 0 \quad \text{si } -1 < a < 1 \\ \text{no existe} \quad \text{si } a \le -1 \\ \end{cases} $$ | Demostración |
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[x]{a} = 1 $$ | Demostración |
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[x]{x^b} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{(1+x)^c - 1}{x}\right)^x = c $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^c - 1}{x} = c $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \tan x }{x} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arcsin x }{x} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arctan x }{x} = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \log x = 0 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log_b{(1+x)} }{x} = \frac{1}{ \log b } $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x - 1 }{ x } = 1 $$ | |
| $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ a^x - 1 }{ x } = \log a $$ |
