Límites Notables

Los límites notables son expresiones límite de funciones o sucesiones que aparecen con gran frecuencia y resultan especialmente valiosas, pues permiten calcular de manera rápida y eficaz muchos otros límites más complejos.

¿Por qué memorizar un límite notable? La justificación rigurosa de un límite notable no siempre es inmediata: a menudo exige una demostración formal. Sin embargo, una vez asimilado el resultado, se convierte en un recurso extremadamente útil que agiliza la resolución de una amplia variedad de problemas de límites.

Lista de Límites Notables

A continuación se recopilan algunos de los límites fundamentales del cálculo:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos x }{x} = 0 $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos x }{x^2} = \frac{1}{2} $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos kx }{x^2} = \frac{k^2}{2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \ln(1+x) }{x} = 1 $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} a^x = \begin{cases} +\infty \quad \text{si } a > 1 \\ 1 \quad \text{si } a = 1 \\ 0 \quad \text{si } -1 < a < 1 \\ \text{no existe} \quad \text{si } a \le -1 \\ \end{cases} $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[x]{a} = 1 $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[x]{x^b} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{(1+x)^c - 1}{x}\right)^x = c $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^c - 1}{x} = c $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \tan x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arcsin x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arctan x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \ln x = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log_b{(1+x)} }{x} = \frac{1}{ \log b } $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x - 1 }{ x } = 1 $$	Demostración
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ a^x - 1 }{ x } = \ln a $$	Demostración