Teorema de unicidad del límite
Si una función \( f(x) \) admite un límite real \( l \) cuando \( x \to x_0 \), ese límite es necesariamente único.
Demostración
La idea central es sencilla: mostraremos que no puede haber dos valores distintos hacia los que la función se aproxime en el mismo punto. Procedemos por contradicción.
Supongamos que el límite de la función cuando $ x \to x_0 $ no es único.
Entonces existirían dos números reales distintos $ l_1 $ y $ l_2 $, con \( l_1 \neq l_2 \), tales que
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \]
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \]
Como ambos límites son diferentes, podemos asumir sin pérdida de generalidad que
$$ l_2 > l_1 $$
Tomemos ahora un número positivo arbitrario \( \varepsilon \). Aprovechando que podemos elegirlo libremente, imponemos la condición
\[ \varepsilon < \frac{l_2 - l_1}{2} \]
Dado que \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \), la definición de límite garantiza la existencia de un entorno \( I \) de \( x_0 \) tal que
\[ |f(x) - l_1| < \varepsilon \quad \forall x \in I \]
Análogamente, como \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \), existe un entorno \( I' \) de \( x_0 \) para el cual
\[ |f(x) - l_2| < \varepsilon \quad \forall x \in I' \]
La intersección de dos entornos de un mismo punto sigue siendo un entorno de ese punto. Por tanto, \( I \cap I' \) es también un entorno de \( x_0 \).
En consecuencia, para todo \( x \in I \cap I' \) se cumplen simultáneamente ambas desigualdades:
\[ \begin{cases} |f(x) - l_1| < \varepsilon \\ \\ |f(x) - l_2| < \varepsilon \end{cases} \]
Eliminando los valores absolutos, obtenemos condiciones equivalentes:
\[ \begin{cases} l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \\ \\ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_2 + \varepsilon \end{cases} \]
Explicación. La desigualdad $ | f(x) - l_1 | < \varepsilon $ indica que \( f(x) \) se encuentra a menos de \( \varepsilon \) de \( l_1 \). Esto equivale al sistema $$ \begin{cases} f(x) - l_1 < \varepsilon \\ l_1 - f(x) < \varepsilon \end{cases} $$ Al reorganizar los términos resulta $$ \begin{cases} f(x) < l_1 + \varepsilon \\ f(x) > l_1 - \varepsilon \end{cases} $$ es decir, $$ l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon $$
Consideremos conjuntamente ambas desigualdades:
\[ \begin{cases} l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \\ \\ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_2 + \varepsilon \end{cases} \]
De la primera se deduce $ f(x) < l_1 + \varepsilon $, mientras que de la segunda se obtiene $ f(x) > l_2 - \varepsilon $. Al combinarlas:
\[ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \]
Esto implica necesariamente
\[ l_2 - \varepsilon < l_1 + \varepsilon \]
Reordenando:
\[ -\varepsilon - \varepsilon < l_1 - l_2 \]
\[ -2\varepsilon < l_1 - l_2 \]
Multiplicamos por \(-1\) e invertimos el signo:
\[ 2\varepsilon > l_2 - l_1 \]
Dividimos entre \(2\):
\[ \varepsilon > \frac{l_2 - l_1}{2} \]
Pero esta conclusión contradice la elección inicial \( \varepsilon < \dfrac{l_2 - l_1}{2} \).
Por consiguiente, la hipótesis \( l_1 \neq l_2 \) es falsa.
En definitiva, debe cumplirse $ l_1 = l_2 $, y el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to x_0 \) es único:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]
Queda demostrado.
