Límite de la función coseno
Cuando una sucesión se aproxima a cero, el valor de su coseno tiende a uno. $$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \cos a_n = 1 $$
Demostración paso a paso
Partimos de la hipótesis de que la sucesión \( a_n \) converge a cero cuando \( n \) crece indefinidamente:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } a_n = 0 $$
Por definición de límite, existe un índice \( v \) a partir del cual todos los términos cumplen:
$$ -\pi/2 \le a_n \le \pi/2 \quad \text{para todo } n > v $$
Nota. Se elige π/2 porque equivale a 90°, y el coseno de ±90° es igual a cero. Este intervalo garantiza que los valores de la función sean positivos.
En consecuencia, para \( n > v \), los términos de la sucesión permanecen dentro del intervalo (-π/2, π/2).
Podemos usar ahora una identidad trigonométrica fundamental que relaciona el coseno con el seno:
$$ \cos a_n = \pm \sqrt{1 - \sin^2 a_n} $$
Dentro del intervalo considerado, el seno nunca alcanza el valor 1 en valor absoluto, lo que implica:
$$ 0 < \sin^2 a_n < 1 $$
Nota. El seno solo llega a 1 en ±90°.
Así, la expresión \( 1 - \sin^2 a_n \) es siempre positiva para todo \( n > v \), y por tanto el coseno no puede ser negativo:
$$ \cos a_n = \pm \sqrt{1 - \sin^2 a_n} \ge 0 $$
Como \( a_n \) tiende a cero, también lo hace su seno:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sin a_n = 0 $$
De ello se sigue que \( 1 - \sin^2 a_n \) se aproxima a 1, y por tanto:
$$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sqrt{1 - \sin^2 a_n} = \sqrt{1} = 1 $$
En conclusión, el límite del coseno de una sucesión que tiende a cero es 1. Este resultado confirma que la función coseno es continua en el origen y que su valor varía suavemente en torno a cero.
