Límite lateral izquierdo

Una función f(x), definida en un intervalo (a, c), tiene un límite lateral izquierdo cuando, al acercarse x al valor c por la izquierda, la función se aproxima a un valor fijo l. En términos matemáticos: $$ \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = l $$ Esto significa que, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que, si $$ c - δ < x < c, \text{ entonces } |f(x) - l| < ε. $$ En otras palabras, cuanto más nos acercamos a c desde valores menores, más se aproxima f(x) al valor l.

Para que el límite lateral izquierdo exista, esta condición debe cumplirse dentro del intervalo abierto (c - δ, c), que incluye únicamente valores menores que c. Si la función no se comporta de manera estable en esa zona, el límite no existe.

Nota. Al analizar el límite lateral izquierdo de una función en el punto c, solo se consideran los valores que se aproximan a c desde la izquierda. No se toman en cuenta los valores que provienen de la derecha (correspondientes al límite lateral derecho) ni el valor exacto de la función en c. Cada uno de estos puede existir o no de forma independiente.

Ejemplo práctico

Veamos un caso sencillo con la función f(x) = x² en el punto c = 3.

El límite lateral izquierdo de la función es:

$$ \lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = 9 $$

Verificación paso a paso

Elegimos un valor ε = 5, que es positivo.

$$ l - ε = 9 - 5 = 4 $$

Podemos tomar un valor δ = 1, también positivo, y definir el intervalo:

$$ (c - δ, c) = (3 - 1, 3) = (2, 3) $$

Si escogemos cualquier valor de x dentro de ese intervalo, la diferencia entre f(x) y el límite l será menor que ε. Es decir, cuanto más cerca esté x de 3 (por la izquierda), más cerca estará f(x) del valor 9.

Por tanto, el límite lateral izquierdo de f(x) en el punto c = 3 es efectivamente 9.

Límite infinito por la izquierda en x₀

Límite por la izquierda +∞

Sea f(x) una función definida en un entorno izquierdo de $ x_0 $ (aunque no necesariamente en $ x_0 $). Decimos que f(x) tiende a +∞ cuando x se aproxima a $ x_0 $ por la izquierda, y lo escribimos: \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty \] si, para todo número real positivo $ M > 0 $, puede encontrarse un entorno izquierdo $ I^-(x_0) $ tal que se cumpla: \[ f(x) > M \] para todo $ x $ perteneciente a dicho entorno. En notación formal: \[ \forall \ M > 0 \ \exists \ I^-(x_0) \ | \ f(x) > M,\ \forall \ x \in I^-(x_0) \]

En esta situación, también se dice que la función f diverge positivamente por la izquierda de $ x_0 $.

Veamos un ejemplo representativo. Consideremos la función

\[ f(x) = \frac{1}{1 - x} \]

Analizamos su comportamiento cuando $ x $ se aproxima a 1 por la izquierda.

Para valores de $ x < 1 $, se tiene $ 1 - x > 0 $ y, además, $ 1 - x \to 0^+ $. Como consecuencia, los valores de f(x) son positivos y crecen sin límite, es decir, pueden hacerse tan grandes como se quiera.

Por lo tanto, se obtiene:

\[ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1 - x} = +\infty \]

En consecuencia, la función diverge positivamente por la izquierda de 1.

Límite por la izquierda -∞

Decimos que f(x) tiende a -∞ cuando x se aproxima a x₀ por la izquierda, y lo expresamos como: \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty \] si, para todo número real positivo $ M > 0 $, puede determinarse un entorno izquierdo $ I^-(x_0) $ tal que se verifique: \[ f(x) < -M \] para todo $ x $ perteneciente a dicho entorno. De forma simbólica: \[ \forall \ M > 0 \ \exists \ I^-(x_0) \ | \ f(x) < -M,\ \forall \ x \in I^-(x_0) \]

En este caso, se dice que la función f diverge negativamente por la izquierda de x₀.

Consideremos ahora la función

\[ f(x) = \frac{1}{x - 2} \]

Estudiamos el límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda.

Para $ x < 2 $, el denominador es negativo y se aproxima a cero. Como resultado, f(x) toma valores negativos cuyo valor absoluto aumenta sin límite.

Por lo tanto:

\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty \]

En consecuencia, la función diverge negativamente por la izquierda de 2.