Evaluación de límites indeterminados mediante el desarrollo en serie de Taylor
En el estudio del análisis matemático, las series de Taylor ofrecen un método especialmente útil para desentrañar límites que a primera vista parecen imposibles de manejar. Su capacidad para aproximar funciones de manera precisa permite transformar expresiones complejas en cálculos manejables.
Un ejemplo explicado paso a paso
Observemos el siguiente límite, que presenta la forma indeterminada ∞ - ∞:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} \right). $$
Para analizarlo, utilizamos el desarrollo de Taylor de la función seno alrededor de \( x = 0 \):
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4). $$
Antes de sustituir esta aproximación, reescribimos la expresión como una única fracción. Este paso simplifica el cálculo y permite ver con claridad dónde intervenir:
$$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} = \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x}. $$
Ahora sí, sustituimos la expansión de Taylor en la expresión:
$$ \frac{ \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) \right) - x }{ x^2 \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) \right) } = \frac{ -\frac{x^3}{6} + o(x^4) }{ x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^6) }. $$
Dividimos todo entre \( x^3 \) para simplificar el límite:
$$ \frac{ -\frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} }. $$
Al tomar el límite cuando \( x \to 0 \), resulta útil separar la expresión en la razón de dos límites independientes:
$$ \frac{ \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} \right) }{ \lim_{x \to 0} \left( 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} \right) }. $$
Las constantes se simplifican de inmediato y los términos restantes pueden evaluarse observando el orden de los infinitésimos:
$$ \frac{ -\frac{1}{6} + \lim_{x \to 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 + \lim_{x \to 0} \frac{o(x^6)}{x^3} }. $$
Factorizar potencias de \( x \) ayuda a identificar de forma clara los términos que desaparecen:
$$ \frac{ -\frac{1}{6} + \lim_{x \to 0} \left( x \cdot \frac{o(x^4)}{x^4} \right) }{ 1 + x^3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{o(x^6)}{x^6} }. $$
Como \( o(x^4) \) y \( o(x^6) \) son infinitésimos de orden superior, ambos cocientes tienden a cero. Esto deja la expresión final:
$$ -\frac{1}{6}. $$
El resultado muestra cómo las series de Taylor permiten resolver formas indeterminadas que con métodos elementales serían más difíciles de tratar. Su uso sistemático abre la puerta a análisis más precisos y a una comprensión más profunda del comportamiento de las funciones cerca de un punto.
