El límite de la función seno
Cuando una sucesión an tiende a cero, el valor de su seno también se aproxima a cero: $$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = 0 $$
Demostración paso a paso
Partimos del supuesto de que la sucesión an converge a cero:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } a_n = 0 $$
Ejemplo. Consideremos la sucesión $$ a_n = \frac{1}{n} $$ que se hace cada vez más pequeña a medida que n crece. Al tender n a infinito, el valor de an se aproxima a cero.
Por definición de límite, existe un índice v tal que para todo n mayor que v, el valor absoluto |an| es menor que cualquier número positivo ε que elijamos.
Sabemos además, por una conocida desigualdad trigonométrica, que para todo número real positivo x se cumple:
$$ 0 < \sin x < x $$
Aplicando esta relación a los términos de la sucesión, podemos escribir:
$$ 0 \le | \sin a_n | = \sin |a_n| \le |a_n| $$
Ahora tomamos límites cuando n tiende a infinito:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } 0 \le \lim_{n \rightarrow \infty } | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow \infty } \sin |a_n| \le \lim_{n \rightarrow \infty } |a_n| $$
Como la sucesión an converge a cero, el límite de |an| también es cero. Entonces:
$$ 0 \le \lim_{n \rightarrow \infty } | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow \infty } \sin |a_n| \le 0 $$
De este modo, por el Teorema del Encajonamiento (también conocido como Teorema del Sándwich), el límite de sin an solo puede ser cero:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow \infty } \sin |a_n| = 0 $$
En conclusión, siempre que una sucesión tienda a cero, su seno también lo hará:
$$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = \sin 0 = 0 $$
Este resultado confirma una de las propiedades fundamentales de la función seno cerca del origen: su comportamiento es prácticamente lineal para valores pequeños del argumento.
