Límite de la función recíproca
El límite de una función recíproca permite anticipar cómo se comporta $$ g(x) = \frac{1}{f(x)} $$ a partir del valor al que tiende $ f(x) $ en un entorno de \( x_0 \).
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
\textbf{Límite de } f(x) & \textbf{Límite de } \dfrac{1}{f(x)} \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
l \in \mathbb{R},\; l \neq 0 & \dfrac{1}{l} \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
+\infty & 0 \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
-\infty & 0 \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
0^{+} & +\infty \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
0^{-} & -\infty \\
\hline
\end{array}
\]
La idea esencial es directa. El límite de \( 1/f(x) \) depende del número al que se aproxima \( f(x) \). El caso más delicado aparece cuando ese número es cero.
Veamos las situaciones más habituales.
Límite finito distinto de cero
Si la función tiene un límite finito y no nulo $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l, \quad l \neq 0 $$ entonces la función recíproca converge al recíproco del límite $$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l} $$
Es decir, si \( f(x) \) se acerca a un valor real distinto de cero, \( 1/f(x) \) se acerca a \( 1/l \).
Ejemplo
Calcular
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x + 1} $$
El denominador es
$$ f(x) = 2x + 1 $$
Primero calculo el límite del denominador
$$ \lim_{x \to 1} (2x+1) = 3 $$
Como el resultado es 3 y no es cero, aplico directamente la regla del recíproco
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x+1} = \frac{1}{3} $$
Límite infinito
Si \( f(x) \) crece sin límite $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \quad \text{o} \quad -\infty $$ y no se anula en un entorno de \( x_0 \), entonces su recíproca tiende a cero $$
\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0 $$
La razón es intuitiva. El recíproco de números cada vez más grandes es cada vez más pequeño.
$$ \frac{1}{1000} = 0.001 $$
$$ \frac{1}{1,000,000} = 0.000001 $$
$$ \vdots $$
Ejemplo
Calcular
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} $$
Aquí
$$ f(x) = x^2 $$
Luego
$$ \lim_{x \to \infty} x^2 = +\infty $$
Por tanto
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0 $$
Límite que tiende a cero
Si \( f(x) \) se aproxima a cero $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ \quad \text{o} \quad 0^- $$ entonces la función recíproca diverge.
- Si $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ $$ entonces $$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = +\infty $$
- Si $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^- $$ entonces $$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = -\infty $$
Cuando el denominador se hace extremadamente pequeño, el recíproco se vuelve extremadamente grande. El signo importa, porque el recíproco lo conserva.
Si \( f(x) \to 0^+ \)
$$ \frac{1}{0.1} = 10 $$
$$ \frac{1}{0.001} = 1000 $$
$$ \vdots $$
Si \( f(x) \to 0^- \)
$$ \frac{1}{-0.1} = -10 $$
$$ \frac{1}{-0.001} = -1000 $$
$$ \vdots $$
Ejemplo
Calcular
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} $$
El denominador es
$$ f(x) = x^3 $$
Calculo
$$ \lim_{x \to 0^+} x^3 = 0^+ $$
Como el límite es un cero positivo
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty $$
Ejemplo 2
Calcular
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x} $$
El denominador es
$$ f(x) = 1-x $$
Calculo
$$ \lim_{x \to 1^+} 1-x = 0^- $$
Como el límite es un cero negativo
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x} = -\infty $$
Y así sucesivamente.
