Límites de funciones compuestas
El límite de una función compuesta f(g(x)) cuando x se aproxima a x0 es igual a l si se cumplen ciertas condiciones: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$ En concreto, debe cumplirse que: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = y_0 $$ $$ \lim_{y \rightarrow y_0} f(y) = l $$ y que exista un δ > 0 tal que: $$ g(x) \ne \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) \quad \forall x \ne x_0 \text{ en } (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $$
En otras palabras, si g(x) tiende a y0 cuando x se acerca a x0:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = y_0 $$
y f(y) tiende a l cuando y se acerca a y0:
$$ \lim_{y \rightarrow y_0} f(y) = l $$
entonces la función compuesta f(g(x)) también tiende a l cuando x se aproxima a x0:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$
Ejemplo práctico
Veamos un caso concreto. Consideremos la función:
$$ f(x) = \log \frac{1}{x} $$
Esta expresión puede interpretarse como una función compuesta de la forma f(g(x)), donde:
$$ y = g(x) = \frac{1}{x} $$
y por tanto:
$$ f(y) = \log y $$
Para calcular el límite de la función compuesta:
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \log \frac{1}{x} $$
conviene dividir el cálculo en dos pasos, analizando primero el comportamiento de g(x) y luego el de f(y).
1. Hallamos el límite de g(x) cuando x tiende a infinito:
$$ y_0 = \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
2. A continuación, calculamos el límite de f(y) cuando y se aproxima a y0 = 0:
$$ l = \lim_{y \rightarrow 0} f(y) = \lim_{y \rightarrow 0} \log y = -\infty $$
Por tanto, el límite de la función compuesta cuando x tiende a infinito es l = -∞.
Demostración paso a paso
Supongamos que f(g(x)) es una función compuesta que converge a l cuando x se aproxima a x0:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$
Consideremos una sucesión xn perteneciente al dominio de f(g(x)) tal que xn se aproxima a x0:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0 $$
Por definición del límite de una sucesión, el valor de f(g(x)) tiende a l si existe un índice v tal que:
$$ |x_n - x_0| < \delta \quad \forall n > v $$
De este modo, la sucesión xn no incluye el término x0.
A partir de esta sucesión, definimos una nueva sucesión yn aplicando la función g(x):
$$ y_n = g(x_n) $$
Como xn ≠ x0 para todo n > v, se cumple que yn = g(xn) es distinto de g(x0):
$$ y_n \ne g(x_0) $$
Por tanto, siendo y0 = g(x0):
$$ y_n \ne y_0 \quad \forall n > v $$
Además, el límite de la sucesión yn converge a l:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = l $$
Este razonamiento muestra cómo el límite de una función compuesta puede descomponerse en dos límites sucesivos, uno sobre la función interna g(x) y otro sobre la función externa f(y), lo que facilita enormemente su análisis.
