Límite de una progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de la forma $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante $ q $, llamada razón común. El comportamiento de la progresión, y en particular su límite, depende completamente del valor de esta razón.
En función del valor de $ q $, se presentan las siguientes situaciones:
- si \( |q| < 1 \), los términos se hacen cada vez más pequeños y tienden a cero, por lo que el límite es \( 0 \);
- si \( q = 1 \), todos los términos son iguales, la progresión es constante y su límite es \( a_1 \);
- si \( q > 1 \), los términos crecen sin límite, divergiendo hacia \( +\infty \) o \( -\infty \) según el signo de \( a_1 \);
- si \( q \leq -1 \), los términos alternan de signo y no se aproximan a ningún valor fijo, por lo que el límite no existe.
En conclusión, una progresión geométrica solo converge cuando \( -1 < q \leq 1 \).
Ejemplos
Veamos algunos ejemplos concretos para entender mejor estos casos.
Caso |q| < 1
Tomemos una progresión geométrica con término inicial \( a_1 = 5 \) y razón común \( q = \frac{1}{2} \).
$$ a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$
Sus primeros términos son:
$$ 5, 2.5, 1.25, 0.625, \dots $$
Cada término es la mitad del anterior. Por eso, los valores disminuyen progresivamente y se acercan cada vez más a cero.
$$ \lim_{n \to \infty} 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0 $$
Caso q = 1
Consideremos ahora una progresión con \( a_1 = 3 \) y \( q = 1 \).
$$ a_n = 3 \cdot 1^{n-1} = 3 $$
Los términos son:
$$ 3, 3, 3, 3, \dots $$
En este caso no hay ningún cambio entre un término y el siguiente. La progresión se mantiene constante y su límite es 3.
$$ \lim_{n \to \infty} 3 \cdot 1^{n-1} = 3 $$
Caso q > 1
Consideremos una progresión con \( a_1 = 2 \) y \( q = 2 \).
$$ a_n = 2 \cdot 2^{n-1} $$
Sus primeros términos son:
$$ 2, 4, 8, 16, 32, \dots $$
Cada término duplica al anterior. Como resultado, los valores crecen muy rápidamente y no están acotados.
$$ \lim_{n \to \infty} 2 \cdot 2^{n-1} = +\infty $$
Nota. Si el término inicial es negativo, por ejemplo \( a_1 = -2 \), los términos son $$ -2, -4, -8, -16, \dots $$ y la progresión diverge hacia menos infinito $$ \lim_{n \to \infty} -2 \cdot 2^{n-1} = -\infty $$
Caso q ≤ -1
Por último, consideremos una progresión con \( a_1 = 1 \) y \( q = -2 \).
$$ a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} $$
Sus primeros términos son:
$$ 1, -2, 4, -8, 16, \dots $$
En este caso, el signo de los términos cambia en cada paso mientras que su valor absoluto crece. Por ello, la progresión no se aproxima a ningún valor definido.
En consecuencia, el límite no existe.
Y así sucesivamente.
