Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio
La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio es la suma de las proyecciones ortogonales del vector v sobre cada uno de los vectores w que conforman la base. Este procedimiento es válido únicamente cuando la base es ortogonal. $$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + \dots + P_{w_n}(v) $$
Cada proyección ortogonal P del vector v sobre un vector w se calcula mediante los coeficientes de Fourier:
$$ P_w(v) = \frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w $$
Ejemplo práctico
Consideremos un subespacio W de R3 sobre el cuerpo K = R.
La base del subespacio es la siguiente:
$$ W = L_R \{ w_1, w_2 \} $$
donde
$$ w_1 = (1,1,-2) \\ w_2 = (1,1,1) $$
Se trata de una base ortogonal, ya que el producto escalar entre sus vectores es igual a cero:
$$ <w_1,w_2> = 0 $$
El vector v, cuya proyección ortogonal sobre el subespacio W deseamos calcular, es:
$$ v = (2,1,3) $$
La proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio W es:
$$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + P_{w_2}(v) $$
$$ P_W(v) = \frac{<v,w_1>}{<w_1,w_1>} \cdot w_1 + \frac{<v,w_2>}{<w_2,w_2>} \cdot w_2 $$
$$ P_W(v) = \frac{<(2,1,3),(1,1,-2)>}{<(1,1,-2),(1,1,-2)>} \cdot (1,1,-2) + \frac{<(2,1,3),(1,1,1)>}{<(1,1,1),(1,1,1)>} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot (1,1,-2) + \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1}{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 + 1 - 6}{1 + 1 + 4} \cdot (1,1,-2) + \frac{2 + 1 + 3}{1 + 1 + 1} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-3}{6} \cdot (1,1,-2) + \frac{6}{3} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-1}{2} \cdot (1,1,-2) + 2 \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{2}{2} \right) + (2,2,2) $$
$$ P_W(v) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right) + (2,2,2) $$
$$ P_W(v) = \left( \frac{-1 + 4}{2}, \frac{-1 + 4}{2}, 3 \right) $$
$$ P_W(v) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3 \right) $$
Este es el resultado de la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio W.
