Transformar una base en una base ortogonal
Para transformar cualquier base de vectores en una base ortogonal, basta proyectar cada vector sobre los demás vectores no nulos utilizando los coeficientes de Fourier.
El coeficiente de Fourier se expresa como el cociente
$$ \frac{<v,w>} {<w,w>} $$
Los coeficientes de Fourier desempeñan un papel esencial en el método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
A partir de la proyección Pw(v), es posible construir una base ortogonal a partir de cualquier base mediante la siguiente fórmula:
$$ w_1 = v_1 $$ $$ w_i = v_i - \sum_{ j=1}^{i-1} P_wj(v_i) \:\:\:\: para \:\:\:\: i=2,...n $$
Naturalmente, la base ortogonal resultante no es única, ya que depende del orden en que se consideren los vectores de la base original.
Nota. La base ortogonal obtenida posee propiedades específicas definidas por el método de Gram-Schmidt. En particular, genera el mismo espacio vectorial. Además, si los vectores de la base inicial son linealmente independientes, seguirán siéndolo en la base ortogonal tras la transformación.
Una vez que se ha obtenido la base ortogonal, esta puede transformarse en una base ortonormal.
Los coeficientes de Fourier
En el espacio vectorial V=R2 sobre K=R, consideramos una base de vectores B formada por los siguientes vectores:
$$ B = \{ v , w \} = \{ ( 2,1 ) , ( 4,0 ) \} $$
No se trata de una base ortogonal, ya que el producto escalar entre los dos vectores es igual a 8.
$$ <v,w> = (2*4)+(1*0) = 8 $$
Al observar la representación gráfica en el plano, resulta evidente que los vectores no son ortogonales (no son perpendiculares).
El producto escalar induce la norma ||·|| en el espacio vectorial.
Para transformar esta base en una base ortogonal, consideramos la proyección ortogonal Pw(v) del vector v sobre w.
$$ P_w(v) = (2,0 ) $$
El vector Pw(v) es un múltiplo de w, es decir, existe un escalar k ∈ R tal que
$$ k \cdot P_w(v) = w $$
Nota. En este ejemplo sencillo, el valor del escalar es inmediato: al multiplicar Pw(v) por 2 se obtiene el vector w.
A continuación, calculamos la diferencia entre el vector v y su proyección ortogonal Pw(v):
$$ v' = v - P_w(v) \\ v' = (2,1) - (2,0) \\ v' = (0,1) $$
Esta diferencia nos proporciona un vector ortogonal a Pw(v).
Por simplicidad, lo denotaremos como v'.
Un análisis gráfico confirma fácilmente que v' es ortogonal a la proyección Pw(v).
Dado que v' es ortogonal a w, el producto escalar
$$ <v',P_w(v)> = 0 $$
Al sustituir v' por v - Pw(v), obtenemos:
$$ <v',P_w(v)> = 0 \\ <v-P_w(v),P_w(v)> = 0 $$
Por la tercera propiedad del producto escalar: $$ <a+b, c> = <a,c>+<b,c> $$
Podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:
$$ <v,P_w(v)> - <P_w(v),P_w(v)> = 0 $$
Como Pw(v) es un múltiplo de w:
$$ P_w(v) = k \cdot w $$
Podemos sustituir Pw(v) por k · w:
$$ <v,kw> - <kw,kw> = 0 \\ <v,kw> - k<w,w> = 0 $$
Por la cuarta propiedad del producto escalar: $$ <ka,b> = k<a,b>$$
Así, la ecuación se transforma en:
$$ k \cdot <v,w> - k<w,w> = 0 $$
Salvo el caso trivial del vector nulo (k = 0), que hemos descartado previamente, esta ecuación se verifica cuando el escalar k toma el siguiente valor:
$$ k = \frac{<v,w>}{<w,w>} $$
Este escalar se conoce como el coeficiente de Fourier del vector v con respecto a w.
Por lo tanto, la proyección ortogonal del vector v sobre w es:
$$ P_w(v) := \frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w = \frac{<v,w>}{||w^2||} \cdot w $$
Volviendo al ejemplo anterior, el coeficiente de Fourier es:
$$ k = \frac{<v,w>}{<w,w>} = \frac{ 8 }{ 16 } = \frac{ 1 }{ 2 } $$
Por consiguiente, la proyección ortogonal del vector v sobre w es:
$$ P_w(v) = \frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w = \frac{1}{2} \cdot (4,0) = (2,0) $$
Ortogonalización de Gram-Schmidt
El método de ortogonalización de Gram-Schmidt permite emplear los coeficientes de Fourier para transformar cualquier base de vectores en una base ortogonal.
Dado un generador L constituido por n vectores {vi} en el espacio vectorial V sobre el cuerpo K = R, siempre es posible construir un generador L' compuesto por n vectores mutuamente ortogonales {wi} equivalente a L. $$ L\{v_1,...,v_n\} = L'\{w_1,...,w_n\} \\ <w_i,w_j>=0 \:\: para \:\: i \ne j $$
Si los vectores del generador original L son linealmente independientes, los vectores ortogonales del generador L' también lo serán.
Por consiguiente, si L es una base, entonces L' constituye igualmente una base.
Fórmula para obtener los vectores de la base ortogonal
Para construir los vectores ortogonales, el método emplea la siguiente fórmula:
El primer vector v1 del generador L se conserva tal cual (w1 = v1) en el generador L'. $$ w_1 = v_1 $$ Los vectores sucesivos se ortogonalizan mediante proyecciones ortogonales y el coeficiente de Fourier. $$ w_i = v_i - \sum_{ j=1}^{i-1} P_{wj}(v_i) \:\:\:\: para \:\:\:\: i=2,...,n $$
El resultado final es una base ortogonal del espacio vectorial V.
Nota. Naturalmente, esta base no es única, ya que depende del orden en que se elijan los vectores en la base inicial.
Ejemplo práctico
En el espacio vectorial V = R3 sobre el cuerpo K = R, consideramos la siguiente base:
$$ B = \{ v_1 , v_2, v_3 \} = \{ ( 1,1,1 ) , ( -1,1,0 ) , ( 1,2,1 ) \} $$
Se trata de tres vectores linealmente independientes.
Estos vectores no son ortogonales, ya que sus productos escalares no son nulos y sus normas no son unitarias.
Productos escalares entre los vectores de la base:
$$ < v_1 , v_2 > = 1 \cdot -1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 \\ < v_1 , v_3 > = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 \\ < v_2 , v_3 > = -1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 1 $$
Para calcular la base ortogonal B', aplicamos el procedimiento de Gram-Schmidt:
$$ B' = \{ w_1 ,w_2,w_3 \} $$
El primer vector de la base ortogonal coincide con el primer vector de la base original:
$$ w_1 = v_1 = (1,1,1) $$
El segundo vector se obtiene aplicando la fórmula de Gram-Schmidt:
$$ w_i = v_i - \sum_{ j=1}^{i-1} P_{wj}(v_i) \:\:\:\: for \:\:\:\: i=2,...n $$
$$ w_2 = v_2 - \sum_{ j=1}^{2-1} P_{wj}(v_2) \:\:\:\: for \:\:\:\: i=2,...n $$
$$ w_2 = v_2 - P_{w1}(v_2) $$
La proyección ortogonal Pw1 del vector v2 es:
$$ P_{w1}(v_2) = \frac{<v_2,w_1>} {<w_1,w_1>} \cdot w_1 $$
$$ P_{w1}(v_2) = \frac{< ( -1,1,0 ) , (1,1,1) >} {< (1,1,1) , (1,1,1) >} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_{w1}(v_2) = \frac{ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 } { 1^2 + 1^2 + 1^2 } \cdot (1,1,1) $$
$$ P_{w1}(v_2) = \frac{ 0 } { 3 } \cdot (1,1,1) $$
$$ P_{w1}(v_2) = 0 $$
Por tanto, el vector w2 es:
$$ w_2 = v_2 - P_{w1}(v_2) $$
$$ w_2 = ( -1,1,0 ) - 0 $$
$$ w_2 = ( -1,1,0 ) $$
A continuación, calculamos el tercer vector w3:
$$ w_3 = v_3 - P_{w1}(v_3) - P_{w2}(v_3) $$
Proyección Pw1(v3):
$$ P_{w1}(v_3) = \frac{4}{3} \cdot (1,1,1) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right) $$
Proyección Pw2(v3):
$$ P_{w2}(v_3) = \frac{1}{2} \cdot ( -1,1,0 ) = \left( - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) $$
Por lo tanto:
$$ w_3 = (1,2,1) - \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right) - \left( - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) $$
$$ w_3 = \left( 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2}, 2 - \frac{4}{3} - \frac{1}{2}, 1 - \frac{4}{3} \right) $$
$$ w_3 = \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{3} \right) $$
Por tanto, la base ortogonal obtenida es:
$$ B' = \{ (1,1,1), (-1,1,0), \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{3} \right) \} $$
Nota. Esta es solo una de las muchas bases ortogonales posibles. Si se modificara el orden de los vectores de la base B, se obtendría una base ortogonal distinta.
Verificación
Verificamos que los productos escalares entre w1, w2 y w3 sean nulos:
$$ < w_1 ,w_2 > = 0 \\ < w_1 , w_3 > = 0 \\ < w_2 ,w_3 > = 0 $$
Los productos escalares son todos cero, lo que confirma que los vectores w1, w2 y w3 son mutuamente ortogonales.
¿Son ortonormales los vectores w1, w2, w3?
No, ya que sus normas no son iguales a 1:
$$ || w_1 || = \sqrt{3} \\ || w_2 || = \sqrt{2} \\ || w_3 || = \sqrt{ \frac{1}{6} } $$
No obstante, es posible transformar esta base ortogonal en una base ortonormal normalizando cada vector.
Consulta este otro ejemplo sobre el procedimiento para transformar una base ortogonal en una base ortonormal.
