Transformación de una base ortogonal en una base ortonormal
Toda base ortogonal puede transformarse en una base ortonormal mediante un proceso de normalización.
Diferencia entre bases ortogonales y ortonormales. Una base ortonormal es una base ortogonal cuyos vectores son ortogonales entre sí y tienen norma unitaria.
Proceso de normalización de una base ortogonal
En el espacio vectorial V = R2 sobre K = R, consideramos una base compuesta por dos vectores:
$$ B = \{ v_1, v_2 \} $$ $$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Esta es una base ortogonal, ya que el producto escalar entre sus vectores es nulo:
$$ \langle v_1, v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0 $$
¿Es también una base ortonormal?
Para comprobarlo, debemos verificar si el producto escalar de cada vector consigo mismo es igual a 1:
$$ \langle v_1, v_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2 \ne 1 $$ $$ \langle v_2, v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 \ne 1 $$
Por tanto, la base B no es una base ortonormal.
Nota. Otra forma de comprobarlo es mediante el cálculo de la norma de los vectores. Los dos vectores no son de norma unitaria, ya que su norma euclídea es distinta de 1:
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$
¿Cómo transformar una base ortogonal en una base ortonormal?
Para convertir la base ortogonal en una base ortonormal, basta con normalizar sus vectores.
Primero, calculamos la norma euclídea de cada vector de la base B:
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} $$
A continuación, dividimos cada vector entre su norma, obteniendo así los vectores normalizados:
$$ v'_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} } = \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} $$
$$ v'_2 = \frac{v_2}{||v_2||} = \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} } = \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{-1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} $$
Estos vectores constituyen los elementos de la base ortonormal B':
$$ B' = \{ v'_1 , v'_2 \} $$
Verificación
Para confirmar que B' es efectivamente una base ortonormal, verificamos tanto la ortogonalidad como la normalización de sus vectores.
Producto escalar entre v'_1 y v'_2:
$$ \langle v'_1,v'_2 \rangle = 0 $$
Al ser el producto escalar igual a cero, los vectores son ortogonales.
Comprobamos ahora que sus normas son unitarias:
$$ ||v'_1|| = 1 $$ $$ ||v'_2|| = 1 $$
Asimismo, el producto escalar de cada vector consigo mismo es igual a 1:
$$ \langle v'_1,v'_1 \rangle = 1 $$ $$ \langle v'_2,v'_2 \rangle = 1 $$
Todo ello demuestra que la base ortogonal B' es también una base ortonormal.
Y así sucesivamente.
