Teoremas de unicidad de raíces de funciones
Los teoremas de unicidad de raíces permiten determinar si una función tiene exactamente una raíz en un intervalo dado.
Para demostrar que una raíz es única, debemos estudiar la continuidad de la función, el signo de sus valores en los extremos del intervalo y el comportamiento de sus derivadas.
Nota. El teorema de Bolzano garantiza que una función continua tiene al menos una raíz en un intervalo si toma valores de signo opuesto en sus extremos. Sin embargo, no permite saber si existen otras raíces. Los teoremas de unicidad añaden condiciones que permiten asegurar que la raíz es única.
Veamos dos teoremas que permiten demostrar tanto la existencia como la unicidad de una raíz.
Primer teorema de unicidad de raíces
Sea \(f\) una función continua en el intervalo cerrado \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a,b)\). Si \(f'(x)\neq 0\) para todo \(x\in(a,b)\) y los valores \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos opuestos, entonces existe un único punto \(c\in(a,b)\) en el que la función se anula: \[ \exists!\,c\in(a,b)\quad\text{tal que}\quad f(c)=0. \]
¿Qué significa que \(f'(x)\neq 0\)? Significa que la primera derivada no se anula en ningún punto interior del intervalo.
Además, por el teorema de Darboux, una derivada no puede cambiar de signo sin pasar por cero. Por tanto, si nunca se anula, debe mantener el mismo signo en todo el intervalo. Esto implica que la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente puede cortar el eje de abscisas, como máximo, una vez.
Por otra parte, como la función es continua y toma valores de signo opuesto en los extremos, el teorema de Bolzano garantiza que tiene al menos una raíz.
Al combinar ambas propiedades, concluimos que la función tiene exactamente una raíz en el intervalo.
Ejemplo
Consideremos la siguiente función en el intervalo \( [0,2] \).
\[ f(x)=x^3+x-2 \]
Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo el intervalo.
Calculamos su primera derivada:
\[ f'(x)=3x^2+1 \]
Para todo \(x\in(0,2) \), la derivada es estrictamente positiva, ya que \(3x^2\) es siempre mayor o igual que cero.
\[ f'(x)=3x^2+1>0 \]
Por tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo.
Ahora calculamos los valores de la función en los extremos:
\[ f(0)=-2<0,\qquad f(2)=8>0 \]
Los valores tienen signos opuestos y la primera derivada no se anula en el interior del intervalo. Se cumplen todas las hipótesis del primer teorema de unicidad de raíces.
Por tanto, la función tiene exactamente una raíz en \((0,2) \).
Para encontrarla, sustituimos \(x=1\) y comprobamos que \(f(1)=0 \). Así, la única raíz en el intervalo es \(x=1\).
Demostración
Vamos a demostrar el teorema mediante una reducción al absurdo. Supondremos que existen dos raíces distintas y veremos que esta hipótesis conduce a una contradicción.
En primer lugar, como la función es continua en \([a,b]\) y toma valores de signo opuesto en sus extremos, el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un punto \(c\in(a,b)\) tal que
\[ f(c)=0 \]
Supongamos ahora que existe otra raíz \(c'\), distinta de \(c\). Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que \(c<c'\). Por tanto, tenemos
\[ f(c)=f(c')=0 \]
Consideremos el intervalo \([c,c']\). La función es continua en este intervalo, derivable en su interior y toma el mismo valor en ambos extremos.
Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, que garantiza la existencia de al menos un punto \(m\in(c,c')\) donde la primera derivada se anula:
\[ f'(m)=0 \]
Pero aquí aparece una contradicción. Una de las hipótesis del primer teorema de unicidad establece que la derivada nunca se anula en \((a,b)\):
\[ f'(x)\neq 0 \qquad \forall x\in(a,b) \]
Como \((c,c')\subset(a,b)\), el punto \(m\) también pertenece a \((a,b)\). Por tanto, no puede cumplirse que \(f'(m)=0\).
Hemos llegado a una contradicción. Esto demuestra que no pueden existir dos raíces distintas en el intervalo.
Como el teorema de Bolzano garantiza al menos una raíz y el teorema de Rolle descarta la existencia de una segunda, concluimos que la función tiene exactamente una raíz en \((a,b)\).
Nota. El teorema de Bolzano y el teorema de Rolle desempeñan funciones diferentes en la demostración. El primero garantiza que existe al menos una raíz. El segundo permite demostrar que no puede haber otra. Así se establecen tanto la existencia como la unicidad de la raíz.
Segundo teorema de unicidad de raíces
Sea \(f\) una función continua en \([a,b]\) y dos veces derivable en \((a,b)\). Supongamos que \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos opuestos y que la segunda derivada \(f''(x)\) es estrictamente positiva para todo \(x\in(a,b)\) o estrictamente negativa para todo \(x\in(a,b)\). Entonces existe un único punto \(c\in(a,b)\) en el que la función se anula: \[ \exists!\,c\in(a,b)\quad\text{tal que}\quad f(c)=0. \]
Este segundo teorema utiliza la segunda derivada, que permite estudiar la convexidad o concavidad de una función.
Si \(f''(x)>0\) en todo el intervalo, la función es estrictamente convexa y su gráfica presenta concavidad hacia arriba. Si \(f''(x)<0\), la función es estrictamente cóncava y su gráfica presenta concavidad hacia abajo.
¿En qué se diferencia del primer teorema? En este caso, la función no tiene que ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente en todo el intervalo.
Por ejemplo, puede ser decreciente hasta alcanzar un mínimo y después comenzar a crecer. También puede ser creciente hasta alcanzar un máximo y después decrecer.
Lo importante es que la segunda derivada mantenga el mismo signo estricto en todo el intervalo. Si, además, la función toma valores de signo opuesto en los extremos, estas condiciones garantizan que existe una única raíz.
Por tanto, no necesitamos estudiar el signo de la primera derivada. Basta con comprobar que la segunda derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo abierto o estrictamente negativa en todo él.
Ejemplo
Consideremos la siguiente función en el intervalo \([0,3]\).
\[ f(x)=x^2-4 \]
Como es una función polinómica, es continua y dos veces derivable en todo el intervalo.
Calculamos primero sus derivadas:
\[ f'(x)= 2x \]
\[ f''(x)= 2 \]
La segunda derivada es constante y estrictamente positiva para todo \(x\in(0,3)\):
\[ f''(x)=2>0 \]
Por tanto, la función es estrictamente convexa y su gráfica presenta concavidad hacia arriba en todo el intervalo.
Ahora calculamos los valores de la función en los extremos:
\[ f(0)=-4<0,\qquad f(3)=5>0 \]
Los valores tienen signos opuestos y la segunda derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo abierto. Se cumplen, por tanto, todas las hipótesis del segundo teorema de unicidad de raíces.
En consecuencia, la función tiene exactamente una raíz en \((0,3)\).
Al sustituir \(x=2\), comprobamos que \(f(2)=0\). Por tanto, la única raíz en el intervalo es \(x=2\).
Nota. El teorema garantiza la unicidad de la raíz únicamente en el intervalo considerado. Esto no significa que la función no pueda tener otras raíces fuera de él. Por ejemplo, \(f(x)=x^2-4\) tiene una única raíz en \([0,3]\), pero posee dos raíces, \(x=-2\) y \(x=2\), en el intervalo más amplio \([-3,3]\). Esto no contradice el teorema, ya que en \([-3,3]\) la función toma valores del mismo signo en ambos extremos. Por tanto, no se cumple la condición de signos opuestos y el teorema no puede aplicarse a ese intervalo más amplio.
Demostración
Para facilitar la demostración, consideraremos primero el caso en el que se cumplen las siguientes condiciones:
\[ f(a)>0,\qquad f(b)<0,\qquad f''(x)>0 \]
Las demás combinaciones de signos se pueden demostrar de forma análoga.
Partimos de la hipótesis de que la segunda derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo abierto:
\[ f''(x)>0 \]
Esto significa que la primera derivada es estrictamente creciente, ya que la segunda derivada indica cómo varía la primera.
Geométricamente, la pendiente de la recta tangente aumenta a medida que recorremos la gráfica de izquierda a derecha.
Para demostrar que la función tiene una única raíz, analizaremos tres casos.
- Primer caso: la función es estrictamente creciente.
Supongamos que la primera derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo:
\[ f'(x)>0 \qquad \forall x\in(a,b) \]
En ese caso, la función sería estrictamente creciente en \([a,b]\).
Sin embargo, nuestras hipótesis iniciales establecen que
\[ f(a)>0,\qquad f(b)<0 \]
Esto es imposible. Una función estrictamente creciente debe tomar un valor mayor en el extremo derecho que en el izquierdo. No puede pasar de un valor positivo a uno negativo a medida que aumenta \(x\).
Por tanto, este caso queda descartado.
- Segundo caso: la función es estrictamente decreciente.
Supongamos ahora que la primera derivada es estrictamente negativa en todo el intervalo:
\[ f'(x)<0 \qquad \forall x\in(a,b) \]
Esto significa que la función es estrictamente decreciente.
Además, sabemos que sus valores en los extremos tienen signos opuestos:
\[ f(a) \cdot f(b) < 0 \]
Como la primera derivada es negativa en todo el intervalo, nunca se anula:
\[ f'(x)<0 \]
Por tanto, se cumplen todas las hipótesis del primer teorema de unicidad de raíces.
Podemos concluir que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución en \((a,b)\).
- Tercer caso: la función primero decrece y después crece.
Supongamos, por último, que la primera derivada se anula en algún punto \(m\in(a,b)\):
\[ f'(m)=0 \]
Recordemos que la primera derivada es estrictamente creciente porque \(f''(x)>0\).
Por tanto, la derivada es negativa a la izquierda de \(m\) y positiva a su derecha:
\[ f'(x)<0 \quad \text{si }x<m \]
\[ f'(x)>0 \quad \text{si }x>m \]
Esto significa que la función es estrictamente decreciente en \( [a,m] \) y estrictamente creciente en \( [m,b] \).
Por tanto, \(m\) es un punto de mínimo estricto.
¿Puede ocurrir esto si \(f(a)>0\) y \(f(b)<0\)? Sí. Después de alcanzar su mínimo, la función puede comenzar a crecer y seguir por debajo del eje de abscisas.
Veamos por qué, incluso en esta situación, la raíz sigue siendo única.
Como la función es estrictamente creciente en \([m,b]\), el valor que toma en el mínimo es menor que el del extremo derecho:
\[ f(m)<f(b) \]
Pero sabemos que \(f(b)<0\). Al combinar ambas desigualdades, obtenemos
\[ f(m)<f(b)<0 \]
La función crece desde \(f(m)\) hasta \(f(b)\), pero ambos valores son negativos. Por tanto, permanece por debajo del eje de abscisas en todo el intervalo \([m,b]\).
En consecuencia, no existen raíces en \([m,b]\).
Solo queda estudiar el intervalo \([a,m]\), situado a la izquierda del mínimo.
En este intervalo, la función es estrictamente decreciente porque
\[ f'(x)<0 \]
Además, toma valores de signo opuesto en sus extremos:
\[ f(a)>0,\qquad f(m)<0 \]
Se cumplen, por tanto, todas las hipótesis del primer teorema de unicidad de raíces en \([a,m]\).
En consecuencia, existe un único punto \(c\in(a,m)\) tal que
\[ f(c)=0 \]
Como ya hemos demostrado que no existen raíces en \([m,b]\), esta es también la única raíz en todo el intervalo \((a,b)\).
Hemos analizado los tres casos. El primero es imposible porque contradice los signos de la función en los extremos. En el segundo, la función es estrictamente decreciente y tiene una única raíz. En el tercero, la función decrece hasta alcanzar un mínimo y después crece, pero solo corta el eje de abscisas una vez.
Por tanto, bajo las hipótesis del segundo teorema de unicidad de raíces, la función tiene exactamente una raíz en \( (a,b) \):
\[ \exists!\,c\in(a,b):f(c)=0 \]
Así queda demostrado el teorema para el caso considerado.
Las demás combinaciones de signos se demuestran de forma análoga, teniendo en cuenta los cambios correspondientes en el signo de las derivadas y en los intervalos de monotonía.
