Axiome de report d’un segment
L'axiome de report d'un segment, également appelé postulat de report d'un segment, est un principe fondamental de la géométrie euclidienne.
Étant donnée une demi-droite d'origine O et un segment AB, il existe un unique point P appartenant à cette demi-droite tel que les segments AB et OP soient congruents : $$ AB \cong OP $$
Autrement dit, il est toujours possible de reporter un segment le long d'une demi-droite ou d'une droite sans en modifier la longueur.
Concrètement, si l'on prend un segment AB et qu'on le "déplace" le long d'une droite r, on obtient un nouveau segment de même longueur. L'axiome garantit que cette opération est toujours possible et qu'elle conduit à un résultat unique.
Cet axiome fait partie des postulats de base de la géométrie euclidienne et intervient dans de nombreuses constructions et démonstrations.
Remarque : les autres postulats incluent notamment le postulat de la droite, le postulat d'existence et d'unicité des segments, le postulat de construction des angles et le postulat des parallèles.
Démonstration
Voyons comment ce principe se met en œuvre dans une construction géométrique simple.
On considère une droite quelconque et un segment AB.
On fixe un point O sur la droite, qui servira d'origine.
À l'aide d'un compas, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon égal à la longueur du segment AB.
Sans modifier l'ouverture du compas, on reporte ce rayon en traçant un arc de cercle de centre O.
Le point d'intersection entre cet arc et la droite détermine un point P.
Le segment OP est alors congruent au segment AB, puisqu'ils ont exactement la même longueur.
On obtient ainsi un point P unique sur la droite tel que OP soit congruent à AB. Cette unicité vient du fait qu'un cercle de centre O et de rayon AB coupe une demi-droite donnée en un seul point.
Ce procédé peut être répété autant de fois que nécessaire pour reporter la même longueur le long d'une droite.
