Soustraction de segments

La soustraction de deux segments AC et AB consiste à déterminer un segment BC dont la longueur, ajoutée à celle de AB, est égale à celle de AC. Autrement dit, soustraire AB de AC revient à trouver le segment manquant pour reconstituer AC. $$ AC - AB = BC \Longleftrightarrow AB + BC = AC $$

Considérons un exemple simple. Si le segment AC mesure 7 unités et le segment AB mesure 5 unités :

longueurs des segments AC et AB représentées graphiquement

La soustraction du segment AB au segment AC correspond à la différence de leurs longueurs :

$$ AC - AB = 7 - 5 = 2 $$

Le segment obtenu, BC = AC - AB, a donc une longueur de 2 unités. Il représente précisément la partie de AC qui reste après avoir retiré AB.

le segment BC représente la partie restante de AC après soustraction de AB et mesure 2 unités

On peut vérifier ce résultat très simplement. En ajoutant AB et BC, on retrouve exactement la longueur du segment AC :

$$ AB + BC = AC $$

Remarque. Partons de la somme AB + BC : $$ AB + BC $$ Comme BC correspond à la différence AC - AB, on peut écrire : $$ AB + BC = AB + (AC - AB ) $$ En simplifiant, on obtient : $$ AB + BC = AB + (AC - AB ) = AC $$

Ainsi, la somme AB + BC redonne toujours AC.

illustration montrant que la somme AB plus BC reconstitue le segment AC

Remarque. En géométrie, on ne soustrait pas les segments eux-mêmes, mais leurs longueurs. La discipline s'intéresse à des grandeurs comme les longueurs, les angles, les aires ou les volumes. Par conséquent, toute opération mathématique appliquée à des objets géométriques concerne leurs mesures, et non les objets en tant que tels.

Observations

Voici quelques propriétés utiles pour mieux comprendre la soustraction de segments :

Si la différence entre les longueurs de deux segments AC et AB est nulle, alors les segments sont congruents, c'est-à-dire qu'ils ont exactement la même longueur. $$ AC - AB = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ AC \cong AB $$
Exemple

Si la différence n'est pas nulle, les segments ont des longueurs différentes. L'un est alors plus long que l'autre.
Si la différence AC - AB est positive, alors le segment AC est plus long que AB. $$ AC - AB > 0 \ \ \Longrightarrow \ \ AC > AB $$
Exemple
Si la différence AB - AC est négative, alors le segment AB est plus court que AC. $$ AB - AC < 0 \ \ \Longrightarrow \ \ AB < AC $$
Exemple
Si AB ≅ CD et EF ≅ GH (avec AB > EF), alors les différences sont elles aussi congruentes : $$ AB - EF \cong CD - GH $$ Cela signifie que soustraire des segments de même longueur à des segments congruents donne des résultats congruents.
Exemple

Ces propriétés permettent de manipuler et comparer les segments de manière simple et cohérente.