Médiatrice d’un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à un segment qui passe par son milieu.
Cette droite joue un rôle fondamental en géométrie. Tous les points situés sur la médiatrice sont à la même distance des deux extrémités du segment. Autrement dit, elle représente l'ensemble des points équidistants des extrémités.
Considérons, par exemple, le segment AB :
Le point M est le milieu du segment AB, car il le partage en deux segments de même longueur, AM et MB.
La médiatrice du segment AB est la droite r, qui passe par le point M et est perpendiculaire au segment, formant un angle droit de 90°.
Équation de la médiatrice d'un segment
Pour déterminer l'équation de la médiatrice du segment AB, on cherche les points du plan P(x;y) qui sont à égale distance des extrémités A(x1;y1) et B(x2;y2).
$ \underbrace{ \sqrt{(y-y_1)^2 + (x-x_1)^2 } }_{AP} = \underbrace{ \sqrt{(y-y_2)^2 + (x-x_2)^2} }_{BP} $
Exemple
Considérons un segment dont les extrémités sont A(1;2) et B(5;4).
Pour trouver l'équation de sa médiatrice, on détermine les points P(x;y) qui sont à la même distance de A et de B.
$$ \underbrace{ \sqrt{(y-y_1)^2 + (x-x_1)^2 } }_{AP} = \underbrace{ \sqrt{(y-y_2)^2 + (x-x_2)^2} }_{BP} $$
On remplace d'abord les coordonnées du point A(1;2), soit x1=1 et y1=2.
$$ \sqrt{(y-2)^2 + (x-1)^2 } = \sqrt{(y-y_2)^2 + (x-x_2)^2} $$
Puis on remplace celles du point B(5;4), soit x2=5 et y2=4.
$$ \sqrt{(y-2)^2 + (x-1)^2 } = \sqrt{(y-4)^2 + (x-5)^2} $$
Les deux membres étant positifs, on élève au carré afin de supprimer les racines.
$$ \left( \sqrt{(y-2)^2 + (x-1)^2 } \right)^2 = \left( \sqrt{(y-4)^2 + (x-5)^2} \right)^2 $$
$$ (y-2)^2 + (x-1)^2 = (y-4)^2 + (x-5)^2 $$
On développe les carrés.
$$ y^2 -4y+4 + x^2-2x+1 = y^2-8y+16 + x^2-10x+25 $$
On simplifie en éliminant les termes y2 et x2 de part et d'autre.
$$ \require{cancel} \cancel{y^2} -4y+4 + \cancel{x^2}-2x+1 = \cancel{y^2}-8y+16 + \cancel{x^2}-10x+25 $$
On regroupe ensuite les termes semblables.
$$ -2x -4y+5 = -10x-8y+41 $$
$$ -2x -4y+5 + 10x + 8y -41 = 0 $$
$$ 8x +4y-36 = 0 $$
On divise toute l'équation par 4 afin de simplifier les coefficients.
$$ \frac{8x +4y-36}{4} = 0 $$
$$ 2x + y - 9 = 0 $$
On obtient ainsi l'équation de la droite qui représente tous les points équidistants de A et de B, c'est-à-dire l'équation de la médiatrice du segment AB.
Cette droite passe par le milieu du segment AB et lui est perpendiculaire.
Démonstration
Considérons le segment AB, dont les extrémités sont A(x1;y1) et B(x2;y2). On cherche l'équation de sa médiatrice.
Par définition, la médiatrice est le lieu géométrique des points du plan P(x;y) qui sont à égale distance de A et de B.
Pour déterminer ces points, on calcule la distance d'un point quelconque P(x;y) à A et à B.
- Distance du point P à A
Le segment PA représente la distance entre P et le point A. Elle se calcule à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACP.
Dans ce triangle, PA est l'hypoténuse. Sachant que CP=|x-x1| et AC=|y-y1| $$ \overline{AP} = \sqrt{ \overline{AC}^2 + \overline{CP}^2} = \sqrt{(y-y_1)^2 + (x-x_1)^2} $$ - Distance du point P à B
Le segment PB représente la distance entre P et le point B. Elle se calcule également à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BDP.
Dans ce triangle, PB est l'hypoténuse. Sachant que DP=|x-x2| et BD=|y-y2| $$ \overline{BP} = \sqrt{ \overline{BD}^2 + \overline{DP}^2} = \sqrt{(y-y_2)^2 + (x-x_2)^2} $$
En égalant ces deux distances, on obtient :
$$ \overline{AP} = \overline{BP} $$
$$ \underbrace{ \sqrt{(y-y_1)^2 + (x-x_1)^2 } }_{AP} = \underbrace{ \sqrt{(y-y_2)^2 + (x-x_2)^2} }_{BP} $$
Cette relation permet de déterminer l'équation de la médiatrice du segment à partir des coordonnées de ses extrémités.
Méthode alternative pour déterminer l'équation de la médiatrice d'un segment
Il existe une autre manière simple et efficace de déterminer la médiatrice d'un segment. L'idée est la suivante : la médiatrice est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire.
On procède donc en deux étapes : trouver le milieu du segment, puis déterminer la droite perpendiculaire passant par ce point.
Exemple
Considérons le segment AB dont les extrémités sont A(1;2) et B(5;4).
1. Calcul du milieu
On commence par calculer les coordonnées du milieu M en faisant la moyenne des coordonnées de A et B :
$$ x_M = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 $$
$$ y_M = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 $$
Le milieu du segment est donc le point M(3;3).
2. Équation de la droite (AB)
On détermine ensuite l'équation de la droite qui contient le segment AB. Pour cela, on utilise la formule de la droite passant par deux points :
$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$
En remplaçant par les coordonnées de A et B :
$$ \frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - 1}{5 - 1} $$
$$ \frac{y - 2}{2} = \frac{x - 1}{4} $$
$$ 4(y - 2) = 2(x - 1) $$
$$ 2(y - 2) = x - 1 $$
$$ 2y - 4 = x - 1 $$
$$ 2y = x + 3 $$
$$ y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} $$
La droite (AB) a donc pour équation y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}.
3. Droite perpendiculaire
On lit directement le coefficient directeur de la droite (AB) :
$$ m = \frac{1}{2} $$
La droite perpendiculaire a pour coefficient directeur m' tel que :
$$ m \cdot m' = -1 $$
d'où :
$$ m' = -2 $$
Son équation est donc de la forme :
$$ y' = -2x + c' $$
4. Passage par le milieu
La médiatrice passe par M(3;3), donc :
$$ 3 = -2 \cdot 3 + c' $$
$$ 3 = -6 + c' $$
$$ c' = 9 $$
On obtient finalement :
$$ y' = -2x + 9 $$
Cette droite est perpendiculaire à (AB) et passe par son milieu. C'est donc la médiatrice du segment AB.
Remarques
Quelques idées essentielles à retenir :
- Symétrie axiale
Si une droite r est la médiatrice du segment AB, alors les points A et B sont symétriques par rapport à r.
- Lieu géométrique
La médiatrice est l'ensemble des points du plan qui sont à la même distance de A et de B.Démonstration : Soit P un point de la médiatrice r. Le point M est le milieu de AB, donc AM = MB. Les triangles AMP et BMP sont rectangles en M, partagent le côté MP et vérifient AM = MB. Ils sont donc congruents, ce qui implique AP = BP.
Réciproque : Si un point P est équidistant de A et de B, alors il appartient à la médiatrice. Le triangle ABP est alors isocèle, et la médiane issue de P est aussi une hauteur, donc perpendiculaire à AB et passant par son milieu.
Cette méthode est particulièrement utile en géométrie analytique, car elle permet de déterminer rapidement l'équation de la médiatrice à partir des coordonnées des extrémités.
