Le milieu d’un segment
Le milieu d'un segment AB est le point situé exactement à égale distance des extrémités A et B.
Autrement dit, le milieu est le point qui partage un segment en deux parties de même longueur.
Pour tout segment de longueur non nulle, il existe un unique milieu.
Considérons par exemple le segment AB.
Un segment contient une infinité de points. Pourtant, un seul de ces points le divise en deux segments congruents, c'est-à-dire en deux segments de même longueur.
Dans cet exemple, le milieu est le point C.
Le point C partage donc le segment AB en deux segments AC et CB qui ont exactement la même longueur.
Comment déterminer le milieu d'un segment ? Une méthode classique consiste à utiliser un compas. On trace deux arcs de cercle de centres A et B, en choisissant un rayon strictement supérieur à la moitié de la longueur du segment. Les deux arcs se coupent en deux points, notés D et E. La droite passant par D et E coupe alors le segment AB exactement en son milieu C.
Le milieu d'un segment peut aussi être déterminé facilement à l'aide des coordonnées dans le plan.
Si les extrémités du segment sont les points $ A(x_A;y_A) $ et $ B(x_B;y_B) $, alors le point milieu M possède les coordonnées suivantes :
$$ x_M = \frac{x_A+x_B}{2} $$
$$ y_M = \frac{y_A+y_B}{2} $$
Autrement dit, les coordonnées du milieu s'obtiennent en calculant la moyenne des coordonnées des deux extrémités.
Calcul du milieu en géométrie analytique
Dans le plan cartésien, le milieu M(xM;yM) d'un segment AB se détermine en calculant la moyenne des coordonnées correspondantes des points A(xA;yA) et B(xB;yB).
La coordonnée x du milieu est la moyenne arithmétique des coordonnées x des extrémités :
$$ x_M = \frac{x_A+x_B}{2} $$
De la même manière, la coordonnée y du milieu est la moyenne arithmétique des coordonnées y :
$$ y_M = \frac{y_A+y_B}{2} $$
Le milieu du segment AB possède donc les coordonnées $ (x_M, y_M) $.
Et dans l'espace tridimensionnel ?
Dans l'espace à trois dimensions, le principe reste exactement le même. Il suffit de calculer la moyenne des coordonnées x, y et z des extrémités A et B.
$$ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} $$
$$ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} $$
$$ z_M = \frac{z_A + z_B}{2} $$
Le point milieu est alors défini par les coordonnées $ (x_M, y_M, z_M) $.
Un exemple pratique
Considérons un segment AB dont les extrémités sont A(2;3) et B(6;5).
Calculons les coordonnées du point milieu :
$$ x_M = \frac{2+6}{2} = 4 $$
$$ y_M = \frac{3+5}{2} = 4 $$
Le point milieu M du segment AB se situe donc en (4;4).
Exemple 2
Considérons maintenant un autre segment AB dont les extrémités sont A(2;1) et B(6;3).
Les coordonnées des extrémités sont :
A(2;1) donc xA=2 et yA=1.
B(6;3) donc xB=6 et yB=3.
Calculons les coordonnées du point milieu M :
$$ x_M = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
$$ y_M = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$
Le milieu du segment se trouve donc en (xM;yM) = (4;2).
Pour vérifier cette construction, on peut tracer deux arcs de cercle de même rayon, supérieur à la longueur AM, et de centres A et B. Les arcs se coupent en deux points C et D. La droite passant par ces deux points coupe alors le segment AB exactement en son milieu M.
La démonstration
Considérons le segment AB et son point milieu M.
Traçons maintenant des droites parallèles à l'axe y passant par les points A, M et B.
Ces trois droites parallèles sont coupées par deux transversales : AB et xAxB.
D'après le théorème des faisceaux de droites parallèles, des segments congruents sur une transversale correspondent à des segments congruents sur l'autre.
Puisque M est le milieu de AB, les segments AM et MB sont congruents. Il en résulte que les segments xAxM et xMxB sont également congruents.
Autrement dit, si M partage le segment AB en deux parties égales, il partage aussi en deux parties égales le segment XAXB.
$$ | x_M - x_A | = | x_B - x_M | $$
Comme xA<xM<xB, on peut supprimer la valeur absolue :
$$ x_M - x_A = x_B - x_M $$
En résolvant par rapport à xM :
$$ x_M + x_M = x_B + x_A $$
$$ 2x_M = x_B + x_A $$
$$ x_M = \frac{ x_B + x_A }{2} $$
On obtient ainsi la coordonnée x du milieu du segment AB.
On applique ensuite le même raisonnement pour la coordonnée y.
On trace trois droites parallèles à l'axe x passant par les points A, B et M.
Ces droites sont également coupées par deux transversales : AB et yAyB.
D'après le théorème des faisceaux de droites parallèles, si les segments AM et MB sont congruents, alors les segments correspondants yAyM et yMyB le sont également.
Autrement dit, si M partage AB en deux parties égales, il partage aussi en deux parties égales sa projection yAyB sur l'axe y.
$$ | y_M - y_A | = | y_B - y_M | $$
Comme yA<yM<yB, on obtient :
$$ y_M - y_A = y_B - y_M $$
En résolvant :
$$ y_M + y_M = y_B + y_A $$
$$ 2y_M = y_B + y_A $$
$$ y_M = \frac{ y_B + y_A }{2} $$
On obtient ainsi la coordonnée y du milieu du segment AB.
En résumé, les coordonnées du point milieu M du segment AB sont :
$$ x_M = \frac{ x_B + x_A }{2} $$
$$ y_M = \frac{ y_B + y_A }{2} $$
Et le même principe s'applique dans toute dimension.
