Commensurabilité et incommensurabilité des segments

Deux segments sont dits commensurables lorsque le rapport de leurs longueurs est un nombre rationnel \( \frac{a}{b} \). Dans le cas contraire, ils sont dits incommensurables.

Autrement dit, deux segments sont commensurables s'il existe une unité de mesure commune permettant de les exprimer sous forme de multiples entiers. Si une telle unité n'existe pas, ils sont incommensurables.

Segments commensurables

Deux segments sont commensurables lorsqu'on peut trouver une unité de mesure commune, c'est-à-dire un segment de référence, telle que leurs longueurs soient des multiples entiers de cette unité.

En pratique, cela revient à dire que le rapport de leurs longueurs est un nombre rationnel \( \frac{a}{b} \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers relatifs avec \( b \neq 0 \).

Exemple

Considérons deux segments de longueurs \(3\) cm et \(4\) cm.

Le rapport de leurs longueurs est \( \frac{3}{4} \), un nombre rationnel. Les deux segments sont donc commensurables.

Cela signifie qu'on peut les découper en un même nombre de parties égales en utilisant une unité commune.

Pour déterminer cette unité, on calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) des longueurs exprimées dans la même unité.

$$ PGCD(3, 4) = 1 $$

Ici, le PGCD est égal à 1. On peut donc considérer une unité de 1 cm et écrire les longueurs des segments comme \(3\) et \(4\) unités.

Segments incommensurables

Deux segments sont incommensurables lorsqu'aucune unité de mesure commune ne permet d'exprimer leurs longueurs comme des multiples entiers.

Cela se produit lorsque le rapport de leurs longueurs est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux entiers.

Exemple

Un exemple classique est celui du côté et de la diagonale d'un carré.

Si le côté du carré mesure \(1\) cm, alors, d'après le théorème de Pythagore, la diagonale mesure \( \sqrt{2} \) cm.

Le rapport entre le côté (\(1\)) et la diagonale (\( \sqrt{2} \)) n'est pas un nombre rationnel, car \( \sqrt{2} \) est irrationnel.

Il n'existe donc aucune unité commune permettant de mesurer exactement ces deux segments. Ils sont incommensurables.

Remarque : Cette découverte a profondément bouleversé l'école pythagoricienne, qui pensait que toute grandeur pouvait être exprimée à l'aide de nombres rationnels. L'apparition des nombres irrationnels marque un tournant majeur dans l'histoire des mathématiques. Selon la tradition, les pythagoriciens auraient tenté de garder ce résultat secret. La légende raconte que le disciple qui révéla cette vérité, Hippase de Métaponte, fut sévèrement puni, certaines versions affirmant même qu'il fut jeté à la mer.

Et ainsi de suite.