Projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace
La projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace s’obtient en additionnant les projections orthogonales du vecteur v sur chacun des vecteurs w qui constituent la base. Cette construction n’est valable que si la base est orthogonale. $$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + \dots + P_{w_n}(v) $$
Chaque projection orthogonale P du vecteur v sur un vecteur w se calcule à l’aide des coefficients de Fourier :
$$ P_w(v) = \frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w $$
Exemple
Considérons un sous-espace W de R3 défini sur le corps K = R.
Une base de ce sous-espace est donnée par :
$$ W = L_R \{ w_1, w_2 \} $$
avec
$$ w_1 = (1,1,-2) \\ w_2 = (1,1,1) $$
Cette famille constitue une base orthogonale, puisque le produit scalaire de ses vecteurs est nul :
$$ <w_1,w_2> = 0 $$
On cherche maintenant la projection orthogonale du vecteur suivant sur W :
$$ v = (2,1,3) $$
Par définition, on a :
$$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + P_{w_2}(v) $$
soit
$$ P_W(v) = \frac{<v,w_1>}{<w_1,w_1>} \cdot w_1 + \frac{<v,w_2>}{<w_2,w_2>} \cdot w_2 $$
En remplaçant par les valeurs numériques :
$$ P_W(v) = \frac{<(2,1,3),(1,1,-2)>}{<(1,1,-2),(1,1,-2)>} \cdot (1,1,-2) + \frac{<(2,1,3),(1,1,1)>}{<(1,1,1),(1,1,1)>} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot (1,1,-2) + \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1}{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{2 + 1 - 6}{1 + 1 + 4} \cdot (1,1,-2) + \frac{2 + 1 + 3}{1 + 1 + 1} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-3}{6} \cdot (1,1,-2) + \frac{6}{3} \cdot (1,1,1) $$
$$ P_W(v) = \frac{-1}{2} \cdot (1,1,-2) + 2 \cdot (1,1,1) $$
En effectuant les calculs :
$$ P_W(v) = \left( -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 1 \right) + (2,2,2) $$
$$ P_W(v) = \left( \tfrac{-1+4}{2}, \tfrac{-1+4}{2}, 3 \right) $$
$$ P_W(v) = \left( \tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}, 3 \right) $$
On obtient ainsi la projection orthogonale du vecteur v sur le sous-espace W.
