Transformation d’une base orthogonale en base orthonormée
Toute base orthogonale peut être transformée en base orthonormée par un procédé de normalisation.
Différence entre bases orthogonales et bases orthonormées. Une base orthonormée est une base orthogonale dont les vecteurs sont non seulement orthogonaux entre eux, mais également de norme unitaire.
Procédure de normalisation d’une base orthogonale
Dans l’espace vectoriel V = ℝ2 sur K = ℝ, considérons une base constituée de deux vecteurs :
$$ B = \{ v_1, v_2 \} $$ $$ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
C’est une base orthogonale, car le produit scalaire de ses vecteurs est nul :
$$ \langle v_1, v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0 $$
Est-ce pour autant une base orthonormée ?
Pour le savoir, il faut vérifier si le produit scalaire de chaque vecteur avec lui-même vaut 1 :
$$ \langle v_1, v_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2 \ne 1 $$ $$ \langle v_2, v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 2 \ne 1 $$
La base B n’est donc pas une base orthonormée.
Remarque. On peut également le constater en calculant la norme des vecteurs. Aucun des deux n’est de norme unitaire, puisque leur norme euclidienne est différente de 1 :
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} \ne 1 $$
Comment transformer une base orthogonale en base orthonormée ?
Il suffit de normaliser chacun des vecteurs de la base, c’est-à-dire de les diviser par leur norme.
Commençons par calculer la norme euclidienne de chaque vecteur de B :
$$ ||v_1|| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $$ $$ ||v_2|| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} $$
On divise ensuite chaque vecteur par sa norme, ce qui donne les vecteurs normalisés :
$$ v'_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} } = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{ \sqrt{2} } \\ \tfrac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} $$
$$ v'_2 = \frac{v_2}{||v_2||} = \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} } = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{ \sqrt{2} } \\ \tfrac{-1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} $$
Ces vecteurs forment les éléments de la base orthonormée B' :
$$ B' = \{ v'_1 , v'_2 \} $$
Vérification
Pour confirmer que B' est bien une base orthonormée, on vérifie à la fois l’orthogonalité et la norme unitaire de ses vecteurs.
Produit scalaire entre v'_1 et v'_2 :
$$ \langle v'_1,v'_2 \rangle = 0 $$
Le produit scalaire étant nul, les deux vecteurs sont orthogonaux.
Leur norme vaut en outre 1 :
$$ ||v'_1|| = 1 $$ $$ ||v'_2|| = 1 $$
De plus, le produit scalaire de chaque vecteur avec lui-même est bien égal à 1 :
$$ \langle v'_1,v'_1 \rangle = 1 $$ $$ \langle v'_2,v'_2 \rangle = 1 $$
On conclut donc que la base orthogonale B' est effectivement une base orthonormée.
