La norme d’un vecteur
En mathématiques, une norme est une fonction qui associe à chaque vecteur une longueur.
Définition
Dans un espace vectoriel réel V sur le corps K = ℝ, une norme est une application ||·|| : V → ℝ qui vérifie les propriétés suivantes : $$||v|| \ge 0 \;\;\; \forall v \in V \\ ||v|| = 0 \:\:\:\:\: \text{si et seulement si} \:\: v = 0_v \\ ||k \cdot v|| = |k| \cdot ||v|| \:\:\: \forall v \in V ,\; k \in ℝ \\ ||v_1 + v_2|| \le ||v_1|| + ||v_2|| \:\:\: \forall v_1, v_2 \in V $$
La norme ||v|| d’un vecteur v est aussi appelée sa magnitude ou sa longueur.
Types de normes
Parmi les normes les plus utilisées, on distingue notamment :
$$ ||v||_1 := \sum_i^n |x_i| \quad \text{pour } v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
$$ ||v||_2 := \sqrt{\sum_i^n x_i^2} \quad \text{pour } v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Remarque. Cette norme est appelée norme euclidienne. C’est la plus couramment employée, car elle traduit la notion classique de distance en géométrie euclidienne.
$$ ||v||_{\infty} := \max \{ |x_i| \} \quad \text{pour } v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Le choix de la norme influe donc sur la valeur attribuée à la longueur d’un vecteur.
Exemple pratique
Considérons un vecteur v de l’espace vectoriel V = ℝ3 :
$$ v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Sa longueur (ou magnitude) prend les valeurs suivantes, selon la norme considérée :
$$ ||v||_1 = |x_1| + |x_2| + |x_3| = |2| + |3| + |4| = 9 $$
$$ ||v||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29} $$
$$ ||v||_{\infty} = \max \{ |x_1|, |x_2|, |x_3| \} = \max \{ 2, 3, 4 \} = 4 $$
Vecteur unitaire ou vecteur directeur
Un vecteur unitaire (ou vecteur directeur) est un vecteur dont la norme vaut 1 : $$ ||v|| = 1 $$
À tout vecteur vi de l’espace vectoriel, on peut associer un vecteur directeur \(\hat{v_i}\).
Exemple
Dans la norme euclidienne, le vecteur v = (2,3,4) est associé au vecteur directeur suivant, dont la norme est ||v|| = √29 :
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ ||v|| = \sqrt{29} $$
Pour obtenir le vecteur unitaire (ou directeur) de v, il suffit de diviser le vecteur par sa norme :
$$ \hat{v} = \frac{1}{||v||} v $$
$$ \hat{v} = \frac{1}{ \sqrt{29} } \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ \hat{v} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{ \sqrt{29} } \\ \tfrac{3}{ \sqrt{29} } \\ \tfrac{4}{ \sqrt{29} } \end{pmatrix} $$
C’est le vecteur directeur associé à v.
Remarque. L’opération qui consiste à associer à un vecteur donné son vecteur directeur s’appelle la normalisation du vecteur.
