Algèbre Vectorielle

Qu’est-ce que l’algèbre vectorielle ?

L’algèbre vectorielle est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux opérations sur les vecteurs - telles que l’addition ou la multiplication par un scalaire - ainsi qu’aux propriétés algébriques que ces opérations satisfont.

Propriétés Fondamentales de l’Algèbre Vectorielle

Propriété associative de l’addition

L’addition vectorielle est associative : le résultat ne dépend pas de la façon dont on regroupe les termes :

$$ \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} $$

Propriété commutative de l’addition

L’ordre des termes n’a pas d’incidence sur le résultat :

$$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $$

Propriété distributive par rapport à la somme de scalaires

Pour un vecteur \( \vec{a} \) et deux scalaires \( k \) et \( j \), on a :

$$ (k + j)\vec{a} = k \cdot \vec{a} + j \cdot \vec{a} $$

Propriété distributive par rapport à la somme de vecteurs

La multiplication d’un scalaire par une somme de vecteurs se distribue naturellement sur chacun d’eux :

$$ k(\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b} $$

Propriété associative de la multiplication par des scalaires

La multiplication successive par des scalaires est associative :

$$ k(j \cdot \vec{a}) = (k \cdot j)\vec{a} $$

Existence du vecteur nul

Il existe un vecteur nul \( \vec{0} \) tel que, ajouté à n’importe quel vecteur, il laisse ce dernier inchangé :

$$ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} $$

Existence de l’opposé additif

À tout vecteur \( \vec{a} \) correspond un vecteur opposé \( -\vec{a} \), dont la somme avec \( \vec{a} \) donne le vecteur nul :

$$ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} $$

Ces propriétés constituent le socle des espaces vectoriels, une notion fondamentale de l’algèbre linéaire qui joue un rôle essentiel en physique, en ingénierie, en informatique et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques.